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第93期
参考答案
这道题由题友@Tom 推荐，属于九宫格形式的排列组合问题，由于涉及到质数，因此我们根据数字特性进行分析。
一、数字分类
首先我们根据数字特性将1-9分成4类：
（A）1、5、7与所有其他数字互质，可以随意摆放；
（B）2、4、8可以与除6之外的其他数字相邻，但彼此不能相邻；
（C）3、9同（B）类；
（D）6最为特殊，只能同（A）类相邻，不能同（B）、（C）类相邻。
二、数字摆放
通过上面的分类很明显我们要先考虑数字6的摆放位置。
1、数字6不能摆放在九宫格的中心
如图，如果6摆在中心，那么周围只能填1、5、7，还有一个位置没法填了。
2、如果数字6放在九宫格的边格
如图，周围三格只能填1、5、7。不失一般性，我们可以按照6、1、5、7的顺序依次填入。其中数字6有四个位置（四个边格）可选，数字1有三个位置可选，数字5有两个位置可选，数字7只有1个位置可选。共计4！=24种填法。
这时表上还剩5个位置，我们用黑白相间的方法对其染色（如图），很明显2、4、8只能填入白格，3、9只能填入黑格。因此这5个位置共有3！*2！=12种填法。
这样共计24*12=288种填法。
3、如果数字6放在九宫格的角格
如图，数字6有四种填法（四角），周围两格只能从1、5、7中选择两个，共A(3,2)=6种填法，对于1、5、7中剩下的一个数，还有6个位置可供选择，这样共有4*6*6=144种选择。
接下来我们不难发现无论6、1、5、7的位置怎样变化，如果对其他5个位置用黑白两种颜色进行染色，染色的方法只有1种（这里黑白互换视为1种）。
如图所示，同数字6放在边格的情况类似，很明显2、4、8只能填入白格，3、9只能填入黑格。因此这5个位置共有3！*2！=12种填法。
这样共计144*12=1728种填法。
综上所述，符合要求的填法共288+1728=2016种。而且我们不难发现无论6、1、5、7怎样摆放，其他5个数字都有12种填法。
第93期
题友解答精选
@舟自橫
数字分为4组:
A:1、5、7,与所有数字互质
B:2、4、8,与奇数互质
C:3、9,与3、6、9外的数字互质
D:6,与1、5、7互质
同组数字等价,即位置互换不影响该格与邻格的互质性
格可分为3类:角、边、心,另以（i,j）表示i行j列
显然6不能在心位
若6在角位【4种】,以在（1,1）为例
6在（1,1）,则（1,2）和（2,1）只能为A组数字,【A（3,2）=6种】,以1、5为例
若（2,2）为B组数字【3种】,以2为例,则4、8在（1,3）、（3,1）、（3,3）之二
若4、8在（1,3）、（3,1）//不要求顺序对应,下同//【2种】,则7在（3,3）,3、9在（2,3）或（3、2）【2种】
若4、8在（1、3）、（3、3）【2种】,则7在（3,1）或（3、2）【2种】,3、9在余下位置【2种】
若4、8在（3,1）、（3、3）,同上
（2,2）不能为3、9//字数限制和略//
若（2,2）为7,剩下的3个偶数在（1,3）、（3,1）、（3、3）【A（3,3）=6种】,3、9在（2,3）、（3、2）【2种】
6在角位的情况有4×6×（3×（2×2+2×2×2+2×2×2）+6×2）=1728
若6在边位【4种位置】,以（1,2）为例
则1、5、7在（1,1）、（1,3）、（2,2）【A（3,3）=6种】
剩余5个位置,3个偶数必须在（2,1）、（3,2）、（2,3）【A（3,3）=6种】,3、9在（3,1）、（3,3）【2种】
6在边位的情况有4×6×6×2=288种
共计1728+288=2016
对答案的补充:
系统限定字数700字,我把字数各种压缩仍然无法满足要求,所以把相对不那么重要的一小部分略去了,在这里补充上
（2,2）不能为3、9,例如（2,2）为3,则9不能在（2,3）或（3,2）,则剩下的3个偶数至少两个相邻。
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另外说几句与解题没有直接关系的话:
1、本题其实用图表达更直观,但用手机很难附图,也不好排版,为了叙述地尽量简洁清楚,也为了满足字数要求,我用了一些不太规范的符号,例如用来注明与计算有关的数字,用//来叙述备注。
2、又是2016？！
（如果没算错的话）
完
本期答案整理：老王 编辑：子曰
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