在网上看到过很多朋友的各种意见和看法，这里先解释一些常见误区。

1、讨论这个问题是基于目前数学体系的实数域（有理数和无理数），有些朋友试图跳出实数域的范畴就没有讨论这个问题的必要了。

2、有的朋友认为0.3循环或者0.9循环不适用于四则运算，其实是不正确的，任何一个实数都适用于四则运算，甚至指数、对数、三角函数等。

3、有些朋友认为极限值是约等于的关系，其实也是不对的，当一个表达式存在极限时，极限是一个确定值，从来没有极限值约等于多少的写法和说法。

4、摆脱你的直觉，一旦触及到无穷这个概念，就不能用直觉去认识事物，而需要用逻辑。比如N和N+1的大小关系，直觉告诉你N+1始终更大一些，但当N趋于无穷时，它们就一样大了，直觉有一点奇怪。

好了，下面进入正题。

二、ε-δ证明法

下面开始用数学分析的方法进行证明，数学分析其实是一门学科，据我所了解的，数学专业的学生不学高数，取而代之的数学分析，相当于进阶版高数。

ε-δ法是数学分析中最基础最重要的一种证明方法，其主要内容是，为了证明非负表达式A=0，只需证明对任意ε＞0，都存在δ，使得表达式A＜ε。

是不是有点绕，别急，我帮你翻译一下就好理解了。因为A是非负的，如果能证明任意正数都比A大，那么A的值就只能为0了，是不是一下子就明白了？

开始证明吧，要证明1等于0.9循环，等价于证明1-0.9循环=0。

很明显，1-0.9循环是非负的。

对于任意正数ε＞0，不妨假设ε＜1。

则一定存在正整数δ，使得1/10^δ ＜ ε ＜= 1/10^（δ-1）。

这句话需要稍微理解一下，例如ε为0.02，则有0.01＜ε＜0.1，例如ε为0.00015，则有0.0001＜ε＜0.001。

另外有，1-0.9（δ个9）=1/10^δ。

所以，1-0.9循环＜ 1-0.9（δ个9）= 1/10^δ ＜ ε。

所以，1-0.9循环 = 0，得证。

三、区间套定理

接下来介绍一条更加有趣的定理来进行证明，那就是区间套定理。区间套定理是实数域最基本的定理之一。

所谓区间套定理，就是存在一个闭区间序列[A1, B1], [A2, B2]...[An, Bn]...，前一个区间包含后一个区间，并且当n趋于无穷时，An的极限等于Bn的极限，记作C。那么，存在唯一的实数属于以上所有的区间，这个数就是C。

通俗理解就是一个闭区间不断缩小，区间两端的极限又相等，则区间最终会缩成一个点。

接下来便可以构造区间套[0.9, 1], [0.99, 1], [0.999, 1]...，此处的An为0.9, 0.99, 0.999...，Bn为1, 1, 1...，An和Bn的极限都是1。

容易发现，0.9循环和1都属于上面的所有区间，根据区间套定理，存在唯一的实数属于以上所有区间，所以0.9循环=1。

四、其他方法

其实，有很多简单方法可以直接证明，只不过证明过程有点反直觉。

例如，作差法，1-0.9循环，差为0.0循环，直觉告诉你这个结果最后会有个1，但是抱歉，没有1，全是0。

例如，求和法，0.9循环+0.9循环，从高位开始计算，你会发现结果居然是1.9循环，不就是1+0.9循环吗？

例如，无穷等比数列求和，0.9循环等于0.9+0.09+0.009+...，这是一个首项为0.9，公比为0.1的无穷等比数列，根据求和公式和为A1/1-q，其中A1为首项，q为公比，带入计算和为1。

例如，极限法，0.9循环等于1-（1/10^n）当n趋于无穷的极限，等于1。