2018 年英国中级挑战赛中的多边形问题
翻译整理：江苏省徐州市第二十四中学 罗伟
在 2018 年英国数学中级挑战赛中,有许多有趣的多边形问题，同学们，你能做出来吗？
1、如图 1，风筝是由两个全等的等腰三角形组成，则 的值为
A.36 B.54 C.60 D.72 E. 80
2、如图 2，大正方形内有一个小正方形，若大正方形周长为 ，小正方形周长为 ，则阴影部分的面积为
A. B. C. D. E.
3、如图 3，正六边形被三条对角线分成六部分，其中两部分是阴影，阴影面积的和是 ，则正六边形的面积为
A. B. C. D. E.
4、在等边三角形，正方形，正五边形，正六边形这四种图形中，能由两个三角形进行部分重叠而得到的一共有多少种？
A.0 B.1 C.2 D.3 E.4
5、如图 4，正方形内有一个正五边形和一个等边三角形，则 的值为
A.24 B.26 C.28 D.30 E.32
6、如图 5，三个矩形的面积相等，则 的值为
A.4 B.6 C.8 D.10 E.12
7、如图 6，边长为 2 的三个正方形，相邻的边重合在一起拼成一个 L 形，这个 L 形在矩形的内部，它的五个顶点在矩形的边上，其中一个顶点是一条边的中点，则这个矩形的面积为
A.16 B.18 C.20 D.22 E.24
8、如图 7，六边形的每个内角都是 ，一些边的长度在图中一标出，则这个六边形的面积为
A. B. C. D. E.
参考答案
1、解：如图 1 所示，给各顶点标上字母，
,，
,.
,
根据四边形内角和为 ，可得方程 ，
即 ，.故选 D.
2、解：如图 2，可得大正方形和小正方形的边长分别为 和 ，，
,,
.
又 ,≌,
同理可得大正方形和小正方形之间的四个三角形都全等，
而大正方形和小正方形的面积分别为 和 ，
所以阴影部分的面积为
注：换个角度，设 ，则 ，根据勾股定理得 ，整理得 ，即 ，故阴影部分的面积为 6，故选 A.
3、解：如图 3 所示，正六边形被分成 12 个全等的直角三角形，其中 5 个直角三角形面积的和是 ，可得 1 个直角三角形面积为 ，则正六边形的面积为 ，故选 B.
注：再作两条线段，则豁然开朗，原来图中两个阴影的面积有关系.
4、解：可以通过画图说明，如图 4，
可以看出，以上四种图形都可以通过两个三角形部分重叠形成，故选 E.
5、解：如图 5， 平行于正方形的底边，正五边形的每个外角都为 ，因而每个内角都为 ，由于钝角 ，优角（大于 的角），根据四边形的内角和等于 ，所以在四边形 中，，而 ，所以 ，故选 A.
6、解：根据三个矩形的面积相等，可得
，
即
整理得
转化为二元一次方程组
，解得 ，
于是 ，故选 D.
7、解:如图 6，设三个正方形的面积都是 ，那么 ，，， 和 的面积都是 ， 和 的面积都是 ，于是矩形的面积为
故选 E.
注:另外也可以求出矩形的长为 ，宽为 ，故面积为 24.
8、解：如图 7，由于六边形的每个内角都是 ，因而每个外角都是 ，把六边形的三条边分别向两个方向延长，得到一个边长为 11 的等边三角形，在其内部有三个等边三角形，边长分别为 1，2 和 6，设等边三角形的边长为 ，则面积为 ，所以六边形的面积为
注：作辅助线之后，则柳暗花明，美景在前，原来外面有三个等边三角形.
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