如何我们只能选择一个主题，当在数学课堂上介绍时，这个主题听起来与现实相去甚远，它必须是“虚数”。即使是科学史上众多不便之一的名字，也鼓励学生开始沮丧地翻白眼，想知道“我什么时候需要用到它？”我来这里不是为了赞成或反对在学校教授这个，我只是在这里向您展示“虚数”数字实际上是如何真实的，并且异常优雅。

为什么我们需要“虚数”？

我们已经知道我们可以用数字做各种有趣的事情，比如加、减、乘、除。在本文中，我们稍微调整了乘法的定义，以帮助解释负数乘以负数如何得出正数，因此如果您需要复习，请查看它。我们使用这些基本过程来想出各种谜题，例如，我们能否找到一个数字，如果它与自身相乘会得到落在数轴上的另一个数字？

答案显然是肯定的，对于任何正数，我们不仅可以找到一个，而且可以找到 2 个唯一数字（平方根）。比如3x3=9，-3×-3也是9。但是我们的底片呢？他们的“根”在哪里？

使用我们当前的乘法定义和我们当前的数轴，这部分谜语的答案似乎不存在！

为了解决这个问题，数学家不得不重新定义数字。因为，如果我们考虑一下，数字到底是什么？虽然这听起来微不足道，但远非如此。我们（现代人）碰巧使用十个符号（从 0 到 9）来表示数量。通过混合这些符号，我们学会了表示更大和更小的数量并相互交流。另一方面，负数表示缺少数量，零表示缺少数量。

按照这个逻辑，我们可以定义一个新的“符号”来表示与数量（我们目前已知的数字）本质上不同的东西。它需要遵循不同的规则。我们将保持加法和减法规则相同，它们与我们的谜语无关，但是当涉及到乘法时，这些新数字不会像正数那样旋转 0 度或像负数那样旋转 180 度。他们将数字旋转 90 度。新符号是，您现在可能已经猜到了，i。

让我们仔细看看这个。

如果我们将 1 乘以我们“编造”的数字“i”，我们自然会得到 i。这是一个不存在于我们的数轴上的值，它仅存在于距它 90 度的位置。

现在，如果我们将新数字 i 乘以 i，我们将重复我们的步骤。缩放并旋转 90 度。我们发现我们已经降落在 -1 上，解决了我们之前的谜题！我们找到了一个数字，如果它与自身相乘会得到一个负数。

但是等等，这还不是全部。如果我们将 -i 乘以 -i 会怎样？乘以负 i 只是意味着向相反方向旋转 90 度，所以我们再次落在 -1 上。成功找到第二个根。

这样我们的谜语就完成了。

我鼓励您尝试这个想法并尝试任何数字，无论是实数还是虚数。它可以很好地缩放。

虚数强行进入现实

自从它们被创造/发现以来，虚数（或复数）被证明在表示许多自然现象方面非常有用。例如，任何重复自身的事物，如振荡运动、波（可能是电磁波、声波、地震等）和振动都可以用虚数非常优雅地表示。他们是所有工程领域的常客。

它们似乎也是我们理解原子和基本粒子行为方式的唯一途径。它们作为其定义的组成部分出现在薛定谔方程（量子力学的核心）中。

他们强行进入现实。这就是我们了解它们的原因。

您可能想知道这是否意味着我们可以“编造”其他数字？我们找到了吗？答案实际上是肯定的。有称为四元数的数字，在表示 3D 旋转时非常有用，还有其他称为八元数的数字，也在科学中发挥作用。

我发现这是通常会引发关于数学是发明还是发现的由来已久的争论的话题之一。我会把这个留给你思考。