下文节选自《 从无穷开始：科学的困惑与疆界》，已获图灵授权，【遇见数学】特此表示感谢！

相比其他问题，无穷更让人倍感煎熬；相比其他想法，无穷更能刺激、启迪人的理性；但相比其他概念， 无穷的概念必须更清晰。

——大卫·希尔伯特

运算中的无穷

亚里士多德驳斥了现实中的无穷，也就是否认了所有物理学上的无穷。但是，他却承认数学上的“潜无穷”，这对于预估一些越来越大或越来越小的量来说，是很有必要的。古希腊几何学最基本的对象是长度。比如说，欧几里得没有借助无尽头的直线，而是长度可任意延伸的线段。所以，这是一种潜无穷——人们使用有限长度的直线，但保留了将其无限延伸的可能性，这就像是一种基于经验的合理推断法。与之相反的观点是现实中的无穷：无限长的直线是真实存在的。这与上述观点有着形而上学的区别。同样，在数字理论上，欧几里得没有宣布存在无限的素数，而是提出“素数的个数比所有已知素数的个数都要多”。于是在很长一段时间里，大部分数学家都回避“实无穷”问题，而只提潜无穷。

尽管数学家们拒绝明确提出“无穷”的概念，但这并不妨碍他们使用这个概念。比如，普罗克鲁斯（5 世纪）既不承认无穷，也不在实际中使用无穷的概念。他宣称，就算利用无穷的概念，也是为了有穷。无穷存在于想象之中，即使它是无法想象的。普罗克鲁斯将无穷比作黑暗，我们承认它存在，却看不到它。

阿基米德（公元前 287—前 212）在计算半径为 R 的圆面积（也就是 π 值，归根结底，圆面积等于 πR²）时，采用了几何中的“穷竭法”，完美阐释了当时数学家以无穷解决有穷问题的思想。圆的面积与半径是两个假定存在的量，可用数字测量与检验。根据经验，求圆面积不应涉及无穷。所以，阿基米德也没有利用无穷的概念来计算圆的面积。

古人的方法

为了计算一个圆的面积 S，阿基米德想象出一个镶嵌在圆内的 n 边形，其顶点都位于圆上。只需将这个多边形分解为三角形，就能轻松地计算出它的面积。其面积小于圆面积。接下来， 阿基米德设想了多个边数逐渐增多的多边形：n 值越大，多边形越接近圆，多边形始终内接于圆，面积随 n 的增加而增加，但始终小于圆的面积——多边形的面积（当 n 增加时）逐步近似但小于圆的面积。

相反，阿基米德还构建了一些包含圆的多边形，多边形的边都与圆外切。边数越多，多边形的面积越小，但始终大于圆的面积：外切于圆的多边形的面积逐步近似于圆面积，但始终大于圆面积。因此，他得出的圆面积为 S =πR²，并将该值计为 π，数值约为 3.1416。

阿基米德的方法叫作“穷竭法”，建立在微积分计算的基础上；而微积分学在 20 世纪才得到发展（图 2.1）。

图 2.1 古人测定π 的方法

为了计算 π 值，阿基米德设想了一些外切于圆和内接于圆的正多边形，并计算多边形之间包含的界限值。

欧多克索斯（公元前 4 世纪）、欧几里得与其他古希腊数学家提出过源于嵌入间隙法类的类似方法。所有人都采用了“无限接近” 的想法：准确的结果存在一个测算误差，要想法尽量减小这一误差。在今天的计算机运算中，人们仍在使用这些方法，甚至从中找到了运算的定义（见“连续统假设”）。就像所有人工计算器一样——不论是机械还是电子计算器，计算机的运算里不存在无穷的概念。计算机也无法达到数学的绝对精确，因为精确就是无穷的分支概念。

阿基米德的推理没有明确提及无穷的概念，也没有涉及边界或收敛问题——不言而喻，这两个问题都预先假定了无穷的概念。然而，他又将圆视为一个有无穷多条边的多边形（无穷多边形）。当代数学家们已经不觉得这种设定有问题了，但在公元前 5 世纪，诡辩者安提丰却曾因提出“当多边形的边数 n 的值足够大时，多边形会变成圆”这一说法而引起了公愤。我们提到过（见“受争议的亚里士多德学派”），在 15 世纪时，库萨的尼古拉斯就已经用同样的论据来证明实无穷的概念。17 世纪末伴随微分计算的诞生，莱布尼茨提出：“无限接近于圆的多边形不是近似于圆而是等于圆。”现代数学家则 运用了无穷极限的概念：圆被视为当 n 趋向于无限时的多边形的极限，也就是说，圆的面积就是所有多边形面积的极限值。

不论人们承认与否，无穷是解决众多数学难题必不可少的途径。