公元前2600年就耸立在苏格兰外赫布里底群岛刘易新西海岸的卡拉尼什巨石阵，像是由整数按一定规则顺序排列的数阵。虽然该群岛的大部分岛屿现在都无人居住，但是据研究，大约4000年前，就有人在此生息繁衍，也正是他们，建造了神秘的卡拉尼什巨石阵。
乌拉姆（1909-1984），杰出的美籍数学家。四岁时，他就对家中东方地毯上的复杂图形着迷。十一岁时，当他阅读父亲书房内瑞士数学家欧拉的《代数》一书时，那"神秘的感觉"油然而生。他是一位极具原创力的科学先驱，他那闻名于世的150页《数学问题集》，源源不断地给科学研究者与数学爱好者以启迪。
1963年，在一次会议中，乌拉姆无聊地在一张草纸上摆弄着数字，犹如下图一样，然后圈出其中的质数后，惊讶地发现，这些质数居然显现着非随机的模式。
会议结束后，乌拉姆列出更多质数，然后更清楚地看到，这些质数显现着某种未知规律，并非完全随机，这一发现可惊动了数学界。
图中表示为黑点为质数，非质数被隐藏后的效果。明显能看出质数在某些地方，隐约地形成直线和螺旋线，我们称作质数螺旋（ 国外称Ulam spiral，既乌拉姆螺旋），这一下激起了数学界对素数规律的寻找热情，1964年3月的《美国科学人》杂志甚至把该图作为封面。
他想知道这种现象在100以后的数是否出现，便和几个朋友运用阿拉莫斯的电子计算机打印出从1到65000的螺旋图，令人惊讶的是，依然出现这种现象。
三角形、正方形、梯形等形态各异的数阵，规律隐含阵中，而发现数阵规律，需要有细致的洞察力和敏锐的判断力。
这个时候，我们把一种银河系背景图，和上图比对起来，把银河系的中心和素数1的位置对齐。我们会发现，素数的位置就是就银河系中星座的位置，在大概率上是基本对齐的。
乌拉姆和冯·诺依曼一起提出了蒙特卡罗方法，另一个为人称道的工作是参与研制了*弹氢**。
例1．在生活中，人们经常通过一些标志性建筑确定位置，在数学中往往也是这样．
（1）将正整数如图1的方式进行排列：
小明同学通过仔细观察，发现每一行第一列的数字有一定的规律，所以每一行第一列的数字可以作为标志数，于是他认为第七行第一列的数字是_____，第7行、第5列的数字是_______．
（2）方法应用
观察下面一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…并将这列数按照如图2方式进行排列：
按照上述方式排列下去，
问题1：第10行从左边数第9个数是______；
问题2：第n行有_______个数；（用含n的代数式表示）
问题3：数字2019在第_____行，从左边数第_______个数．
【解析】：（1）∵每一行第一列的数字为该行的平方，
即第n行第一列的数字为n²，∴第七行第一列的数字是：7²＝49，
第5列的数字是：49﹣4＝45，故答案为：49，45；
（2）由题意得：每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，所有数取绝对值后是连续的正整数，所有数中奇数为正整数、偶数为负整数，每行数的个数为：1，3，5，7…；
问题1：∵第9行最末的数字的绝对值是81，
∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9＝90，
∵偶数为负整数，∴第10行从左边数第9个数是﹣90；
问题2：∵每行数的个数为：1，3，5，7…；∴第n行有2n﹣1个数；
问题3：∵2019＝442+83，∴数字2019在第45行，从左边数第83个数；
故答案为：﹣90；2n﹣1；45，83．
变式．将正整数按如图所示的规律排列，并把排在上起第m行，左起第n列的数记为以A（m，n），
（1）试用m表示A（m，1），用n表示A（1，n）；
（2）当m＝10，n＝12时，求A（m，n）的值；
（3）当A（m，n）＝216时，求m、n的值．
【解析】：观察表中正整数的排列规律，可知：
（2）当m＝10，n＝12时，A（m，n）是左起第12列的上起第10行的数，
由（1）及表中正整数的排列规律可知，第12列中，第1个数为122，至第10个数依次递增1，122+9＝131,所以所求的A（m，n）为131；
（3）∵14²＝196，216﹣196＝20，
∴m＝15﹣（20﹣15）＝10，n＝14+1＝15．
故m的值为10、n的值为15．
（2）是否存在一个3×3的数表A，使得该数表的"积和"S＝0？并说明理由；
（3）当n＝10时，直接写出数表A的"积和"S的所有可能的取值．
∴不存在一个3×3的数表A，使得该数表的"积和"S＝0；
（3）n＝10时，S的可能取值﹣20，﹣16，﹣12，﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20．
变式1．数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a*b为数阵中第a行第b列的数．
例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3*2＝3．
（1）对于数阵A，2*3的值为_____；若2*3＝2*x，则x的值为_____；
（2）若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：a*a＝a；条件二：（a*b）*c＝a*c；
则称此数阵是"有趣的"．
①请判断数阵A是否是"有趣的"．你的结论：_____（填"是"或"否"）；
②已知一个"有趣的"数阵满足1*2＝2，试计算2*1的值；
③是否存在"有趣的"数阵，对任意的a，b满足交换律a*b＝b*a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．
【解答】：（1）对于数阵A，2*3的值为2；若2*3＝2*x，则x的值为1，2，3；
（2）①由数阵图可知，数阵A是"有趣的"．
②∵1*2＝2，∴2*1＝（1*2）*1，
∵（a*b）*c＝a*c，∴（1*2）*1＝1*1，
∵a*a＝a，∴1*1＝1，∴2*1＝1．
（3）不存在; 理由如下：方法一：
若存在满足交换律的"有趣的"数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a*c＝（a*b）*c＝（b*a）*c＝b*c，
这说明数阵每一列的数均相同．
∵1*1＝1，2*2＝2，3*3＝3，
∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，
∴1*2＝2，2*1＝1，与交换律相矛盾．
因此，不存在满足交换律的"有趣的"数阵．
方法二：由条件二可知，a*b只能取1，2或3，由此可以考虑a*b取值的不同情形．
例如考虑1*2：
情形一：1*2＝1．
若满足交换律，则2*1＝1，
再次计算1*2可知：1*2＝（2*1）*2＝2*2＝2，矛盾；
情形二：1*2＝2
由（2）可知，2*1＝1，1*2≠2*1，不满足交换律，矛盾；
情形三：1*2＝3
若满足交换律，即2*1＝3，
再次计算2*2可知：2*2＝（2*1）*2＝3*2＝（1*2）*2＝1*2＝3，
与2*2＝2矛盾．
综上，不存在满足交换律的"有趣的"数阵．
故答案为：2；1，2，3；是．
变式2. 阅读下述材料，尝试解决问题
数学是一门充满思维乐趣的学科，现有一个3×3的数阵A，数阵A中每个位置对应的数都是1，2或3．定义a*b为数阵中第a行、第b列的数．例如，数阵A＝
第3行、第2列所对应的数是3，所以3*2＝3．
（1）对于数阵A，2*3的值为_____；若2*3＝2*x，则x的值为______．
（2）若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：a*a＝a；
条件二：（a*b）*c＝a*c；则称这个数阵是"有趣的"．已知一个"有趣的"数阵满足1*2＝2，试计算2*1的值．
【解析】：（1）∵3*2＝3，
∴2*3＝2，∴2*1＝2，2*2＝2．
故答案为：2；1，2，3．
（2）该数阵为
，
∵1*2＝2，∴2*1＝（1*2）*1
∵（a*b）*c＝a*c，∴（1*2）*1＝1*1
∵a*a＝a，∴1*1＝1，∴2*1＝1．
答：2*1的值为1．
解决数阵问题的关键是：通过观察发现排序后的数阵中的规律，如行或列中数的规律、特殊位置上数的规律等。
3．观察下表三组数中每组数的规律后，回答下列问题．
（1）请填写上表中的三处空格；
（2）由表可知，随着n的值逐渐变大，三组数中，最先超过10000的是_____组（填"A"、"B"
或"C"）；
（3）在A组的数中，任意圈出相邻的三个数，例如，圈出5、7、9，可求出它们的和为21．问能否圈出这样的三个数，使它们的和为607？若能，请求出这三个数；若不能，请说明理由．
巴拿赫是乌拉姆的导师之一，他放在苏格兰咖啡店内供乌拉姆、肖德等使用的笔记本记录了波兰的数学精英集体思维的结晶——非同寻常的数学问题。现已成为著名的"苏格兰笔记"
当年被用于核物理研究的"蒙特卡罗方法"现已被广泛运用到许多领域。《一位数学家的经历》是乌拉姆的自传，乌拉姆把他的科学、哲学与数学思想穿插于往事的叙述中，记录了他的一生经历和科学生涯，
"关于数学与科学的随想"是自传的一章，记述了这位科学哲学家关于数学、物理、生物学新应用的真知灼见。
奇妙的数阵问题其实很容易，只要你掌握了以下解题步骤：（1）求出条件中已知数字的和；（2）找出关键数——重复使用的数；（3）用尝试的方式，求出其他各数，因为数字存在不同的组合方式，答案往往不唯一。