本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理(根与系数的关系)、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考察最值问题,年年考查,分值为20分左右,预计2021年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避免丢分,学生应扎实掌握.
一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：
(其中
为常数，
)，其中
分别叫做二次项、一次项和常数项，
分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：(1)在一元二次方程的一般形式中要注意
，因为当
时，不含有二次项，即不是一元二次方程；(2)一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法：适合于
或
形式的方程．
2．配方法：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)把方程整理成
的形式；
(5)运用直接开平方法解方程．
3．公式法：(1)把方程化为一般形式，即
；(2)确定
的值；(3)求出
的值；(4)将
的值代入
即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成
的形式，可得
或
．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式：一元二次方程
是否有实数根，由
的符号来确定，我们把
叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
(1)当
时，方程
有两个不相等的实数根；
(2)当
时，方程
有1个(两个相等的)实数根；
(3)当
时，方程
没有实数根．
3．根与系数关系：对于一元二次方程
(其中
为常数，
)，设其两根分别为
，
，则
，
．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
(1)增长率=增长量÷基础量．(2)设
为原来量，
为平均增长率，
为增长次数，
为增长后的量，则
；当
为平均下降率时，则有
．
2．利润等量关系：(1)利润=售价－成本．(2)利润率=
×100％．
3．面积问题
(1)类型1：如图1所示的矩形
长为
，宽为
，空白“回形”道路的宽为
，则阴影部分的面积为
．
(2)类型2：如图2所示的矩形
长为
，宽为
，阴影道路的宽为
，则空白部分的面积为
．
(3)类型3：如图3所示的矩形
长为
，宽为
，阴影道路的宽为
，则4块空白部分的面积之和可转化为
．
图1 图2 图3
4. 碰面问题(循环问题)
(1)重叠类型(双循环)： n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的(n－1)支球队比赛，∴1支球队需要比(n－1)场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n(n－1)场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴m=
(2)不重叠类型(单循环)：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的(n－1)支球队比赛，∴1支球队需要比(n－1)场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n(n－1)场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=