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今天分享一道二次函数在几何图形中的应用题，针对此类问题，需要仔细分析题意，结合图形，根据所学过的定理得出二次函数表达式，再利用二次函数的性质求解。二次函数的综合题往往是中考的压轴题，大多数需要分类讨论，针对这种计算量大，思路难的题目，一定要充分利用所学知识分析解答。
真题求解
如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点0移动；同时点N从O点出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0<x<4）时，解答下列问题：
⑴ 求点N的坐标(用含x的代数式表示)；
⑵ 设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；
⑶ 在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。
中考考点
本题是一道二次函数与几何相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是⑶中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果。
解题思路提示
⑴ 由勾股定理求出OB，作NP丄OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式
PN/AB=OP/OA=ON/OB，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
⑵ 由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，从而写出函数表达式，注意自变量的取值范围；
⑶ 分两种情况：
①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；
②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出
OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可。
解题步骤
解:⑴根据题意得：MN=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
OB=√OA2+AB2=√42+32=5，
作NP丄OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴PN/AB=OP/OA=ON/OB
即PN/3=OP/4=1.25x/5，
解得：OP=x，PN=3/4x，
∴点N的坐标是(x，3/4ⅹ)；
⑵ 在△OMN中，OM=4-x，OM边上的高
PN=3/4ⅹ
∴S=1/2OM·PN=1/2(4-ⅹ)·3/4ⅹ=-3/8ⅹ2+3/2ⅹ，
∴S与x之间的函数表为S=-3/8x2+2/3ⅹ(0<x<4)；
⑶ 存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下:
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示
则MN∥AB，此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵MN//AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴OM/OA=ON/OB，
即4-ⅹ/4=1.25x/5，
解得：X=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：
则∠ONM=∠OAB，此时OM=4-x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA,
∴△OMN∽△OBA，
∴OM/OB=ON/OA，
即4-ⅹ/5=1.25ⅹ/4，
解得：X=64/41；
综上所述：x的值是2秒或64/41秒。
