在初中数学里，相似三角形的知识虽然所占比分不多，但它是非常重要的一部分，因为证两个三角形相似相对于证两个三角形全等需要的条件要少，特别是用两对角相等证两个三角形相似，更是方便，快捷，而一但两个三角形相似了，则对应边成比例，得到一个等式，利用这一性质，就可求某一条边的长度，这也是列方程的依据，方程的思想是非常重要的数学思想方法，是解决数学问题的有力*器武**，我们说，几何有三宝:勾股，相似和三角，可见相似这部分知识的重要，那么如何很好地掌握这部分知识呢？下面以题说明。
【题目呈现】
1.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论:
①△BAE∽△CAD;②MP×MD=MA×ME;③.2CB²=CP×CM.其中正确的序号是______.
【分析】△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD=45°，∴∠CAE=90°，∴CA/AB=AD/AE=√2，又知∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确.由①知，∠BEA=∠CDA，又∠PME=∠AMC，∴△PME∽△AMD，∴MP/MA=ME/MD，∴MP×MD=MA×ME，②正确.由于MP/MA=ME/MD，又∠PMA=∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM=∠AED=90°，在Rt△CAM中，AP⊥CM，∠CAM=90°，由射影定理得AC²=CP×CM，在等腰直角三角形中，可得AC²=2BC²，∴2CB²=CP×CM，③正确.∴正确的序号为①②③.
【总结】本题考查了相似三角形的判定，特别是，由△PME∽△AMD，得MP/MA=ME/MD，再由∠PMA=∠EMD，证出△PMA∽△EMD，这一方法一定要熟练，平时做题时要有意识地进行练习，以提高推理能力，同时要熟练应用射影定理.
2.已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长是多少？
【分析】E，F两点在等腰三角形的腰上，底边的中点在哪里呢？显然应分两种情况讨论:
①当点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，如下图，
由于△BDE与△DFC相似，又AB=AC，∠B=∠C，BD=DC，DE=3，DF=2，∴DE与DF是对应边，相似比为DE/DF=3/2，∴BD与DC不可能是对应边，则应为BE/DC=BD/CF=3/2，那么又如何求对应边的长度呢？我们想到了列方程.设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b一2，CF=b一4，由BE/DC=DE/DF=BD/CF，得(b一2)/a=3/2=a/(b一4)，解得a=12/5，∴BC=24/5.
②当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点时，如下图，
则AB=AC，∠B=∠C，AE与AF应是对应边，∴△BAE与△CFA的相似比为AE/AF=1:2，那么AB边应与CF是对应边，设AB=AC=m，BD=CD=n，则BE=n一3，CF=n一2，由△BAE∽△CFA，得BE/AC=AE/AF=AB/CF，即(n一3)/m=1/2=m/(n一2)，解得，m=2/3，n=10/3，此时AB=2/3，BE=n一3=1/3，而AE=2，BE，BA，EA不能构成三角形，故此种情况不成立.
综上所述，原等腰三角形的底边长为24/5.
【总结】本题主要用到了分类讨论的思想方法，两个三角形相似，找对应边时，根据确定的元素，结合题中的条件，分析确定其他的对应边，这样可简化计算量.
3.如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是_______.
【分析】我们先不管题目是难还是易，当我们拿到这样的题时，该如何分析？要求a，b，c三线段满足的关系式，那肯定要建立，有关a，b，c的方程，结合条件，应用相似知识合适，相似三角形的边应是含a，b，c或其代数式为宜，所以锁定△DEF与△GHK，易证∠FDE=∠HGK，或∠DFE=∠HKG，则△DEF∽△GHK，∴DE/HG=EF/HK，而DE=a，EF=b一a，HG=b一c，HK=c，∴可得，a/(b一c)=(b一a)/c，化简得b(b一a一c)=0，由于b≠0，∴a+c=b.
4.如图，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，点P为BC的中点，连接PM，PN，MN，有下列结论:①PM=PN;②AM/AB=AN/AC;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时，BN=√2PC，其中正确结论的序号是___________.
【分析】由于BM⊥AC于M，CN⊥AB于N，点P为BC的中点，∴PN为Rt△BNC斜边BC的中线，∴PN=BC/2，PM为Rt△BMC斜边BC的中线，∴PM=BC/2，∴PM=PN，①正确.易知△BMA∽△CNA，∴AM/AN=AB/AC，∴AM/AB=AN/AC，②正确.由于∠A=60°，易得∠ABM=∠ACN=30°，∴∠MBP+∠NCP=60°，由①知BP=PM，CP=PN，∴∠MBP=∠BMP，∠NCP=∠CNP，∴∠NPB=2∠NCP，∠MPC=2∠MBP，∴∠NPB+∠MPC=2(∠MBP+∠NCP)=120°，∴∠NPM=60°，又PM=PN，∴△PMN为等边三角形，③正确.若∠ABC=45°，则△BNC为等腰直角三角形，∵P为BC的中点，∴NP⊥BC，∴BN=√2BP=√2PC，④正确，∴正确结论的序号为①②③④.
5.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD，连接MF，NF.
(1)判断△BMN的形状，并加以证明;
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并加以证明.
【分析】①依据条件，联想知识，靠拢结论。∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=1/2(∠BAE+∠ABE)=45°，∴△BMN是等腰直角三角形.
②∵F，M分别是AB，BC的中点，∴MF∥AC，MF=AC/2，∵AC=BD，∴MF=BD/2，即MF/BD=1/2，∵△BMN是等腰直角三角形，MN=BM=BC/2，即MN/BC=1/2，∴MF/BD=MN/BC，∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°，∵FM∥AC，∴FM⊥BE，∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD，∴△MFN∽△BDC.
本题若想利用两角证相似，则较难，甚至证不出来，题中有边的倍分关系，所以用对应边成比例且夹角相等来证.
【总结】分析条件，联想相关知识，运用某些技巧和方法，步步逼近结论，是通用的解题方法。
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