今天我们来聊点有趣的，我们聊聊“完美数”——Perfect Number
所谓完美数是指：除了自身以外，所有正约数的和等于自身的正整数。
最小的完美数是6，共有4个正约数，分别为1，2，3，6。
除了自身6以外，其他3个正约数的和1+2+3=6。
第二小的完美数是28，除了自身28以外，还有5个正约数，分别为1，2，4，7，14。
1+2+4+7+14=28
第三小和第四小的完美数分别为496和8128，前四个完美数都是古希腊数学家欧几里得发现的。
除了完美数的定义性质以外，完美数还有很多迷人的特殊性质。
性质一：除了1以外，完美数的所有正约数的倒数和为1。
1/2+1/3+1/6=1
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1
…………
很容易证明，这个性质和完美数的定义在本质上是一样的，只是表达形式不一样而已。
性质二：完美数能够表示成连续正整数的和。
6=1+2+3
28=1+2+3+……+7
496=1+2+3+……+31
8128=1+2+3+……+127
…………
性质三：除了6以外，完美数能够表示成连续正奇数的立方和。
28=1^3+3^3
496=1^3+3^3+5^3+7^3
8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3
…………
性质四：完美数转换为二进制，可以表示为p个1和(p-1)个0，其中p为质数。
6=110(2)
28=11100(2)
496=111110000(2)
8128=1111111000000(2)
…………
完美数类似有趣的性质还有很多，但数学家们最关心的是，完美数的个数是有限的还是无限的？能不能找到表达完美数的通项公式？
第五个完美数是33550336，目前人们一共找到了51个完美数。已知最大的完美数是：
2^82589932×(2^82589933-1)
这是一个49724095位数。
那么下一个完美数是多少呢？完美数的个数是无限的吗？目前这两个问题都还没有解决。
目前找到的这51个完美数全都是偶完美数，那么有没有奇完美数呢？目前这个问题也没有人知道。尽管我们还没有找到任何一个奇完美数，但也没有人敢说奇完美数一定不存在。
之前提到的古希腊数学家欧几里得在研究完美数的时候发现，根据性质四
6=110(2)=111(2)-1(2)
=(2^3-1)-(2^1-1)=2^3-2^1
=(2^1)×(2^2-1)
28=11100(2)=11111(2)-11(2)
=(2^5-1)-(2^2-1)=2^5-2^2
=(2^2)×(2^3-1)
496=111110000(2)
=111111111(2)-1111(2)
=(2^9-1)-(2^4-1)=2^9-2^4
=(2^4)×(2^5-1)
8128=1111111000000(2)
=1111111111111(2)-111111(2)
=(2^13-1)-(2^6-1)=2^13-2^6
=(2^6)×(2^7-1)
6=(2^1)×(2^2-1)
28=(2^2)×(2^3-1)
496=(2^4)×(2^5-1)
8128=(2^6)×(2^7-1)
于是欧几里得大胆猜想，完美数可以表示为以下形式：
[2^(p-1)]×(2^p-1)，p依次取所有质数
但是欧几里得很快发现当p=11时，这个规则就失效了。
(2^10)×(2^11-1)=2096128并不是完美数。
之所以会出现这种情况，是因为(2^11-1)是一个合数。
2^11-1=2047=23×89
于是，欧几里得改进了约束条件，并严格证明了以下结论：
若p和(2^p-1)均为质数，则[2^(p-1)]×(2^p-1)是完美数。
在2000多年后，另一位数学巨匠欧拉证明了这个命题的逆命题：
一个偶完美数可表示为[2^(p-1)]×(2^p-1)的形式，其中p和(2^p-1)均为质数。
至此，关于偶完美数的研究进入一个新高度，总结两位大师的结论：
“p和(2^p-1)均为质数”等价于“[2^(p-1)]×(2^p-1)是偶完美数”
然而，不完美的地方是这并不是一个能够直接推出完美数的通项公式，只是一个偶完美数能够满足的表达形式。由于同时满足p和(2^p-1)均为质数的p是否为无穷多个，我们并不知晓，所以偶完美数是否为无穷多个我们也就无法得知。
实际上形如(2^p-1)的质数（又称素数）正是非常著名的梅森素数，也就是说，迄今为止，人类借助计算机总共找到了51个梅森素数。值得一提的是，在1772年，当时双目已经完全失明的欧拉靠心算找到了第八个梅森素数(2^31-1)=2147483647，这是当时能够找到的最大梅森数，这是多么恐怖的心算能力。
有了梅森素数的概念，以上等价结论就可以改写为：
若Mp=(2^p-1)是梅森素数，则[Mp(Mp+1)/2]是完美数。
关于完美数还有很多未解之谜，还等待着数学家们或者您这样的数学爱好者们去揭开谜底。