小时候，我们都学过圆的面积公式： ；中学时，我们又学了球体的体积公式： 。那么，你有没有想过，四维空间中，球体的体积公式是什么？
那么首先需要考虑的问题是，四维空间里的球体到底是啥呢？我们得先定义清楚四维空间中的球，然后才可以讨论它的体积。这并不难，根据三维空间里球的定义，你可以很容易将其推广到任意维数。n维空间的球体定义可以定义为：
到原点的距离小于等于r的点的集合，r就是球的半径。
到这里，你可能已经跃跃欲试，准备开始用微积分的知识，自行推导四维空间的球体体积公式了。我剧透一下答案：
4维空间的球体公式是 。5维空间的球体积公式是 。
到这里，我又要请大家做一次喜闻乐见的找规律游戏，请你根据0到5维的球体公式，你猜测下，n维空间的球体积公式会长啥样？
0到5维的球体积公式，图片来自维基百科。思考题：为什么0维的球体积是1？
当然，我们可以确定，n维空间的球体积公式中，肯定是 的形式，因此我们主要关心的是 的系数k。让我们再回顾一下，一到五维的球体体积公式中，排除 部分之后的系数。
一维的球就是一条线段，其体积公式就是线段长度2r，系数是2。二维的球就是圆，二维球的体积公式就是圆面积公式，那么系数是 。三维情况下的系数是 ，四维是 ，五维是 。
从这个系数序列中，你会发现总是有，且的指数每两个维度递增一，那么可以猜测6维和7维的公式里含有 ，这是一个正确的猜测。
另外，我们可以观察一下系数大小变化。如果你把以上系数的小数点都算出来，你会发现，从1维到5维，球体积的系数是递增的。所以，你可能会猜测，随着维度增大，体积公式前的系数会逐渐增加。
1到5维中，球体积公式前的系数是递增的
但是，这里有个大大的意外，实际上，随着维数增加，球体积公式之前的那个系数会迅速减小，并且趋向于0！而5维的情况实际上是这个系数最大的情况。
6维及以上，球体积公式前的系数是递减的，且递减速度越来越快
可以给大家举个例子感受下。比如有种弦理论认为宇宙有10个空间维度。那么10空间的一个半径为1的球，它的体积只有2.55。而它的外切立方体的体积则是 ，这个球的体积只相当于其外切正方体的体积1/400。
球与其外切立方体的体积比较。在100维时，这个比例只有1/10^(70)
到100维的话，这个比例则只有 数量级，是不是非常反直觉？也就是越到高维，这个球体就越显得无法填满空间了，之前关于开普勒猜想的节目中，也提到过这现象。越到高维，球体最大填充密度就越小。说实话，我也是2、3年前做了开普勒猜想这期节目才知道这个事实，确实很反直觉，那么为什么会这样？
一种直观的解释就是在高维空间，体积这个东西主要分布在某个形状的边缘，而不是内部。想象一下3维的正方体，它有6个面，8个顶点。4维的正方体，它有8个面，16个顶点。100维的正方体呢，200个面，但顶点就要有 个。你可以看到，顶点数的增加速度是非常恐怖的，而体积在内部是均匀的，所以不得不有非常多的体积分布到顶点和面的附近，内部就越显得中空。
或者你可以想象以下过程。你在至少画一个方格，那么你只需要在它的外围画8个同样的方格，你就感觉把这个方格完全包住，得到一个更大的方格：
一个正方形，外围添加8个一样的正方形，可以得到一个更大的正方形
如果你有一个立方体，那么你需要用26个同样的立方体，包裹这个立方体，才能得到一个更大的立方体。以此类推，维数越高，你在外围所需要填充的空间越大。
把魔方想象成小立方体组成。则一个小立方体外围后需要添加26个同样的立方体，才能得到更大的立方体
而球体恰恰是远离边缘，大部分体积集中在中心的那个形状。所以越到高维，球体积显得越小。这里还有一个很有趣的9维空间的例子。
先看一个边长为4的正方形，划分为四个 格子，每个格子里放一个半径为1的圆，那么这个4个圆之间，还可以画一个内切圆，其半径是 。
以上四个小球中间可以加入一个内切圆，如果长方形的边长是4，则这个内切圆的半径是√2-1
那么到3维空间，一个边长为4的立方体，用同样的方法，划分为八个空间，放入8个单位小球。那么这些小球中间还可以放入一个小球，这个小球的半径是 。推广到n维，你会发现这个放在中心的小球半径就是根号 。
(一个正方体内可以如上图所示，放入8个小球。小球中间可以再加入一个内切球，如果正方体的边长是4，则这个内切球的半径是 )
那么当n取9的时候，有意思了。这个中心的小球的半径就是 。它的体积达到了它周围512个小球的总体积的2倍。并且它都已经与外围的立方体相切了。由此可以看出，高维立方体中用球填充空间的无力感！
那么我们再看看为什么这个体积公式系数为什么在5维时达到最大值？那么从公式上来看看，分偶数维和奇数维两种情况，
你会看到这个系数的的分母是按照维数n的阶乘变化的，分子是按 变化的。阶乘的增长速度，斯特林公式的话，其理论上是与 同阶增长的。
（可近似计算阶乘的斯特林公式）
那么指数上大家都是n，但是阶乘的底数是随着维数增加而增加的，而不是固定的π。那么分母变大会比分子变大的速度快，所以总体上这个系数会变小，并且在5这里达到最大值。
有意思的是，如果引入伽马函数后，这个n维球体积公式可以推广到全体实数上：
那么此时，这个系数取最大值实际上是在n=5.2569左右得到最大值。当然，这个5.2568维的空间长什么样子我是无法想象了，但是为什么宇宙中会留这个特别数字而不是其他数字，这又是一个充满神秘感的问题了。
用伽马函数表示的球体积公式中，其系数在5.2569左右达到最大
最后，我们来看看，n维空间的球体公式是怎么推导出来的。
对球体积公式，据说最早是阿基米德推导出来的。他发现如下的圆锥体加上球体体积等于右边的圆柱体体积：
（上图：阿基米德推导球体积公式的基本依据。根据我对阿基米德了解，他应该是找了一个圆锥形的容器，装满沙子，倒入如上式中间的那个容器中，发现沙子正好填满，所以得到了此结论:=）
阿基米德用了类似祖暅原理的方法，他发现一个球的去外切圆柱的体积差值，这个空白出来的区域，可以转换为一个圆锥体。那么球体体积自然可以算作圆柱体减圆锥体的体积，得到了球体积公式。
当代比较科学的方式是采用递推的方法，来得到n维球体积公式。在实践中，这个递推以2为步长比较方便。即把n维球的体积，用n-2维的球体积来表示出来。n-2维的球的体积，去乘以 ，就可以得到n维球体积公式。
对偶数维度n，球体积符合以下公式：
对奇数维度n，球体积符合以下公式：
最早是谁先推导出一般化的n维球体积公式呢？也许是因为这个问题并不起眼，所以历史上并没有确切记载。有人认为，瑞士数学家路德维希·谢菲（Ludwig Schläfli）首先得到了那些公式。作为n维几何学的先驱，路德维希·谢菲在1850年代初期，曾写过关于该主题的论文，但论文直到1901年才完整出版。
19世纪英国著名的数学家亚瑟·凯莱（ Arthur Cayley）将谢菲的论文翻译为英文，并摘录于1858年的一篇文章中。该摘录的第一段给出了n-球体的体积公式，并评论说它早已被确定。文章中的一该处有一个脚注，引用了比利时数学家卡塔兰在1839年和1841年发表的论文，貌似卡塔兰至少发表过部分成果。
但是第一个指出，球体积公式前的系数在五维空间中最大的是保罗·雷诺·海尔（Paul Renno Heyl）。海尔于1897年发表过一推导了高维空间的球体体积和表面积（他称之为“内容”和“边界”）的公式，并对多维几何做了清晰的阐述。
保罗·雷诺·海尔文章中，关于n维球体积和表面积公式前的系数的插图
他发现5维中空间中，球体积公式系数最大，而表面积最大发生在7维。“7维”这个数字让我联想到我之前的一期节目：“八维空间好砌墙”。其中提到了，从8维开始，可以构造某种密铺，且任何两个n维的形状，不完全共享某个n-1维结构。那是不是因为8维开始，表面积开始变小了呢？这个联想真的很有意思。
无论如何，海尔也清认识到这一发现的奇异性：“在无限维的空间中，我们的轨迹可能根本没有任何内容…这是我在更高空间的奇境中所知道的最奇特的事情。”这句话的意思，我的理解是：
如果说在3维空间，我们走路留下的脚印是2维的。那么在100维空间，我们走路留下的脚印是99维的。而这99维的脚印所占的体积或者面积，看起来会非常的小，几乎不留下什么，这确实是非常奇特的。
今天的高维空间之旅就到这里。
【电子工业】老师没教的数学
￥39
购买
参考文献
https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball
https://mathworld.wolfram.com/Ball.html
https://www.americanscientist.org/sites/americanscientist.org/files/201110101628308738-2011-11CompSciHayes.pdf