线段最值里的“三截棍”如何破解？（胡不归问题）
线段最值，包括一条线段，两条线段和甚至多条线段和的最值，通常解决的思路是化成一条线段，利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”来解决，当然在加入圆相关概念之后，可用定理会更多。多条线段和的最值也被归纳为“胡不归+阿氏圆”模型，当然，核心依然是上述基本定理。
题目
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.
(1)连接BD，点M是线段BD上一动点(点M不与端点B，D重合)，过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧)，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取最大值时，求HF+FP+1/3PC的最小值；
(2)在(1)中，当MN取最大值，HF+FP+1/3PC取最小值时，把点P向上平移√2/2个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0<α<360)，得到△A'OQ'，其中边A'Q'交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'=∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：
(1)让我们先解决第一个问题，即MN什么时候最大？
点M在线段BD上，MN⊥BD，从图中可以观察出△FMN∽△DEB，请注意，它们的形状是相对固定的，因为这两个直角三角形中，有一个锐角∠DBE始终等于∠FNM，于是可利用相似三角形的对应边成比例，设置参数表示MN的长度，然后利用二次函数最值来解决，当然无论哪种方法，必要的坐标需要先求出来，抛物线解析式已知，因此可分别求出A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，D(1,-4)以备后面解题需要。
方法一：设N(t，t²-2t-3)，求出BD的直线解析式为y=2x-6，则点F(t，2t-6)，可表示出FN=-t²+4t-3，再根据△FMN∽△DEB，得MN:FN=EB:DB，其中EB=2，DE=4，可计算出DB=2√5，因此MN=√5/5FN=-√5/5(t-2)²+√5/5，最后得到当t=2时，MN取得最大值，此时的点F(2,-2)，HF=2；
方法二：不妨作一条直线k与DB平行，且与抛物线只有唯一公共点，设这条直线为y=2x+n，与抛物线联立方程得2x+n=x²-2x-3，整理得x²-4x-(n+3)=0，有唯一公共点的含义是它的判别式为零，即△=0，16+4(n+3)=0，解得n=-7，于是我们可得到交点N(2,-3)，从而得到点F(2,-2)，同样计算出HF=2；
然后再来解决第二个问题，FP+1/3PC何时最小？
这个问题的焦点是如何处理1/3PC，在通常的线段和最值问题中，我们一般把两条线段的和“拼凑”成一条线段，再利用两个最值定理来求解，即在图中寻找或构造一条线段始终等于1/3PC，它在哪呢？
第一次尝试，解析法。
设点P点坐标为(0,p)，分别表示出PC=p+3，PF²=4+(-2-p)²，得到一个含二次根式的代数式，1/3(p+3)+√[4+(-2-p)²]，这在初中阶段基本走入“死胡同”了，失败！
第二次尝试，几何转换法。
在图中现有条件中，有没有两条线段比为1：3的呢？还真有！前面已经求出的A(-1,0)，C(0,-3)，在△AOC中，两条直角边之比恰好是1：3，也就是说，只要以PC为直角边，构造一个与之相似的直角三角形，岂不是解决问题了？作图如下：
过点P作PK∥x轴，于是无论点P在何处，始终有PK=1/3PC，看上去似乎解决了，但且慢！PF+PK何时最小呢？AC是定线，点F是定点，按常理应该使用垂线段最短，可是PK不可能垂直于AC的，因此受阻于最短构型，失败！
第三次尝试，仍然是几何转换法。
至少在第二次尝试中，我们找到了一种解决问题的思路，即寻找一条始终长度是PC三分之一的线段，虽然上述PK的构造是失败的，但不妨碍我们在其基础上继续研究。
在失败中寻找原因，有定线有定点，不垂直是硬伤，那么我们换个思路，F是定点没得跑，定线难道只能是AC？在前面第二次尝试中，△PCK的两直角边之比为1：3，难道只能是两直角边的比？
稍微调整一下，我们过点P构造直角三角形，以PC为斜边可以吗？
所以我们需要构造一个以C为顶点，CP所在直线为一边，正弦值为1/3的角。
方法是以PC为直径作圆，再以P为圆心，1/3PC长为半径作弧，与前面的圆相交于点T，如下图：
再连接PT和CT，看下我们的初衷是否实现了，如下图：
检测第一条：CT是否为定直线，由于我们作图时保证了△PCT是一个直角三角形，理由是直径所对的圆周角是直角，且PT=1/3PC，因此sin∠PCT=1/3，由三角函数概念可得∠PCT的大小是确定的，所以判断CT是定直线；
检测第二条：PT是否始终为PC的三分之一，这毋庸置疑，我们就是截取它的三分之一作弧的；
至此成功构造出FP+PT=FP+1/3PC，且当F、P、T三点共线时，其和最短，理由是“垂线段最短”。
接下来可以开始求这个最小值了，过点F作FS⊥y轴，如下图：
很容易证明△PCT∽△PFS，得到PS=1/3PF，而在Rt△PFS中，FS=2，另两边之比为1：3，一个直角三角形，一旦知道两条边的比，则三边之比可求，因此PS:FS:FP=1:2√2:3，这也是利用三角函数的结果，所以FP=3√2/2，PS=√2/2，再来求PC=CS-PS=1-√2/2，然后得到PT=1/3PC=1/3-√2/6，最后将三段合成，HF+FP+1/3PC的最小值为(7+4√2)/3；
(2)在前一小题的基础上，我们已经确定了点P坐标，因此Q点坐标也随之确定，从而△AOQ的形状大小也能确定，接下来就是旋转的问题了。
首先P(0,(-4-√2)/2)向上平移后得到Q(0,-2)，再观察Rt△AOQ，发现它两直角边分别是1和2，因此斜边是√5，从上个图中先看∠Q'和∠Q'OG之间的关系，前者是直角三角形的一个内角，后者是由直角顶点出发的一条线段，这令人想到直角三角形斜边上的中线，那么，是否旋转至当这个直角三角形斜边上的中线与坐标轴重合，恰好存在这样的数量关系呢？不妨试一下，如下图：
当∠Q'=∠Q'OG时，过点Q'向x轴作垂线Q'L，得到∠LQ'O=∠Q'OG=∠Q'，即△LQ'O也是一个三边比为1：2：√5的直角三角形，所以点Q'坐标就比较好求了，毕竟OQ'长度始终为2，因此当点G在y轴正半轴时，Q'(-2√5/5，4√5/5)；
于是剩下的几种情况就容易多了，分别作图如下：
分别求当点G在x轴正半轴时，Q'(4√5/5，2√5/5)；
当点G在y轴负半轴时，Q'(2√5/5，4√5/5)；
当点G在x轴负半轴时，Q'(-4√5/5，-2√5/5).
综上所述，所有满足条件的点Q'坐标为(-2√5/5，4√5/5)，(4√5/5，2√5/5)，(2√5/5，4√5/5)，(-4√5/5，-2√5/5).
解题反思
有的时候，自己在备课时把一道题目的解法条分缕析，非常透彻（自以为），可是学生却索然无味，一方面怀疑是学生的学习态度不够端正，另一方面也必须反省自身，讲解能否再精彩一些？
上网课期间，有学生玩游戏直播，不亦乐乎，这么多人围观，技术也不怎么样，是什么勇气？围观者是什么心态？难道不应该看那些玩的最溜的玩家吗？
思考多了，便也得出了结论，当然，是我自己的结论。
学生看老师讲题，有时候是带着疑问听，这样当然效果最好，更多的时候是被动听的，因为老师要讲这道题，所以我才去看看。
针对这种心态，讲题过程如果没有“故事”或者“事故”，是很难抓住学生注意力的，因此在讲解这道题之前，我自己先尝试以学生思路去思考，果然会遇到问题，这就引起了共鸣，学生在听讲的时候会发现，原来老师也是这么想的，而且没做出来！
对，老师也没做出来，这个就很有意思了，那就看老师能不能做出来，多了几分期待，其实就是要多这几分期待，至少注意力集中过来了不是吗？
尝试有成功也有失败，很明显学生对翻车很有兴致，毕竟在他们的解题过程中，翻车现场比比皆是，在我看来，翻车不要紧，及时吸取教训才是重点，从失败之处找到原因，而且失败之后并不代表努力也是失败的，本题中恰恰是从失败中找到的新的思路，这也是鼓励学生不要因为思路没走通，而对整个过程全盘否定。
数学解题，无论一种方法最终能否成功，过程非常重要，在整个思考过程中，会调用不同的知识，引用不同的方法，这个过程就是学习的过程，而与最终结果无关。
也就是说，在未来的教学过程中，有意识地设置教学环节，让思维贴近学生，而不是一上来就摆出一幅先知模样，秒杀这秒杀那，情同理合的教学场景，才最具效果。
不过，这终归是“演戏”，上课，其实也是一场场戏，演得好不好，能不能吸引学生，核心是教学设计，宛如剧本，否则一身解法，尽唱独角戏，实在可惜。
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