素数原根定理如下：
比如：
图1
按照上述说明，ψp(d)的意义就是使得a^d=1 mod p 这个方程的解的个数，也就是a的个数。
对比欧拉定理：
对于互质的正整数 a 和 p ，有 a^φ(p) ≡ 1 mod p 。
我们看到，两者并不相同。欧拉定理并没有要求p一定是素数，而原根定理则是相对于素数而言的。
当p是素数时，满足欧拉定理的a的个数一定是p-1，它不一定就是原根的个数，虽然
φ(p)=p-1，但原根要求的则是 a^d=1 mod p 中最小的d=p-1。
欧拉定理的重点在于指数幂φ(p)，而原根定理在于a的个数。
参看作者在《模运算中幂次方程解的构成》一文中的说明，由图1可以得到：
下面证明等式
第一种情况：
因为
所以
第二种情况：
以上是d<n的情形。
这篇文章的最终目的就是为了证明一个素数p的原根个数，就等于φ(p-1)。
证明的思路就是将待证明的整数n分为若干种情况：素数、完全平方数、素数的幂、两个素数的乘积，等等。在考虑了所有的情况以后，再假设n=p-1，从而问题得证。