如果说18世纪的数学界中心人物是欧拉，那么17世纪的数学盟主那就应该是费马。
业余数学家之王——费马*法大**官
费马本人的正经职业是*法大**官，也就是一个类似国家公务员的职务。业余时候研究研究数学，可能是费马本人天赋太高，业余时间研究的成果却超越了17世纪的任何一位职业数学家。他没事就喜欢看看数学著作，在书上指指画画，偶尔还会向那些职业人士挑战，弄得职业选手常常很没面子。费马专注于一些著名的传奇数学书籍，比如欧几里得的《几何原本》，丢番图的《算术》，其中偶尔得到的费马大定理更是世人皆知。
大约1640年，费马没事用笔勾勾圈圈，无意发现这样的一个式子：
容易验证，这5个如此形式的数字都是素数，第6个数由于本身太大，费马没有验证。但费马仍然坚信他的直觉，大胆猜测，凡是满足这样形式的数都是素数，这也就是著名的费马素数猜想。费马先生欣喜若狂，给朋友写信介绍自己的这个猜想，不过他也承认自己没有证明这个猜想。
人们几千年来都一直想得到一个确切的素数的解析形式，而不必只是从验证方面入手来判定一个数是否是素数。但是一直未能如愿，事实上这样的解析式到21世纪也没有被发现。费马提出来这个貌似很正确的猜想，自然吸引了很多人研究。
欧拉大神
1729年，哥德巴赫给欧拉的一封信里说到，关于费马数的猜想，并且寻求欧拉的帮助，不论是证明，还是*翻推**。时年，欧拉22岁。这个问题迅速吸引了欧拉的注意，欧拉着手开始对F(5)的情况开始研究。1732年，欧拉发布了研究成果，证实了F(5)是个合数，于是费马数猜想被否定。
下面看看欧拉对于F(5)是合数的证明：
欧拉关于F(5)的分解过程
我在中学时代从一本业余读物上看到这个过程的，到现在也还记得那本书里对于欧拉的工作的形容是“巧夺天工”！是的，除了巧夺天工，实在难以找到什么来形容了。大家看出来欧拉的“天工”体现在哪里了吗？没错就在(4)式，欧拉把15改写成5×(128-125)。初一看，你完全想象不到这样的用意何在，但是请再看下面的步骤，恍然大悟！
原来15=5×(128-125)=5×(2 7 -5 3 ),因为做了这样的处理之后，将前面全部是“+”的项分离出了一个“-”的部分项，这一部分“-”的项刚好与1组成了平方差公式的逆运算，刚好这一部分进行2次平方差的逆运算之后，刚好有因子与前面的“+”的部分项产生公因子。于是在最后全部提取公因式，并最终将这个大数圆满地因式分解，并且找到了全部的素因子！
一个几乎困扰了数学界100年的一个难题，在欧拉这里被一套最初级的招数攻破。用的仅仅是现在初中学生都熟练的因式分解技巧！
看到很多资料上说，当年欧拉为了解决验证这个问题，在2年时间里用去了所有的周末才得到这个分解了这个大数232+1=4294967297。这在我看来根本是无稽之谈，因为这个大数的一个因子仅仅才641，并没有多大，哪怕一个笨人拿着素数表一个一个算也不用两年吧。要知道欧拉可是在双目失明的情况下，用心算就可以证明梅森数M(31)=231-1=2147483647是素数的大师。后面才知道，欧拉在这2年的周末里对费马数做了大量的研究，不仅仅是验证了F(5)，他发现了费马数的一系列性质：
如果费马数是一个合数，那么F(n)必定有一个因子是2 n+2 ×k+1。
比如F(5)，由这条性质，我们可以得到F(5)有个因子是25+2×k+1，其中k是自然数，我们只要挨个去累加k的值，就可以将费马数分解。这是一条非常重要的性质，人们就是用的这个办法，非常“幸运”地验算了后面发现的费马数。
令人尴尬的是，当年费马太过注重灵感得到的“正确猜想”，其实到目前为止，人们动用超级计算机，自F(5)之后就没有发现任何一个素数，全部是合数！所谓这个费马素数猜想的全部素数仅仅只有费马本人验证过的5个而已。于是，人们猜测费马数有且仅有5个素数。前面说到，费马作为数学家的生涯里提出过很多著名的猜想和定理，几乎都是对的，然而在这个几乎以外，有且仅有这一个是错的，而且错得格外离谱。
高斯大神
还记得高斯证明正17边形可以尺规作图的故事么？在高斯后来的研究生涯里，高斯又证明了更加强有力的结论：如果一个费马数是素数，那么这个数量的正多边形就可以用尺规作图做出来。比如，正5边形，正17边形，甚至正65537边形都是可以用尺规作图的方式画出来！有个叫Johann Gustav Hermes的德国数学家用了10年心血给出了正65537边形的尺规作图法，手稿就有200多页，装了满满一个皮箱！
欧拉解决F(5)的方法看起来远远不是多么高大上，也没有用到新颖的数学工具，完全就是用小米加步枪的方式干掉了美国轰炸机。也许，很多高大上的问题解法可能真的就隐藏在小工具里。