今天给大家分享的是一道关于二次函数的综合题，涉及考点较多，难度中等偏上，欢迎感兴趣的同学来挑战。
【例题】
25.如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=-1和x=3时，y值相等．直线y=15/8x-21/4与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．
①求t的取值范围．
②若使三角形BPQ为直角三角形，请求出符合条件的t值；
③t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．
图1
【涉及考点】二次函数综合题
【涉及知识点】二次函数图象及其性质；图形的相似；分类讨论；推理能力；函数思想
【解题分析】
（1）先求出对称轴，再求出y=15/8x-21/4与抛物线的两个交点坐标，将其代入抛物线的顶点式就可以解答；
（2）①先求出A、B、C的坐标，写出OB、OC的长度，再求出BC的长度，由运动速度就可以求出t的取值范围；
②当三角形BPQ为直角三角形时，只存在角BPQ=90度或角PQB=90度两种情况，分别证明三角形BPQ∽三角形BOC和三角形BPQ∽三角形BCO，就可以求出t的值；
③如图，过点Q作QH垂直x轴于点H，证明三角形BHQ∽三角形BOC，求出HQ的长，由公式S四边形ACQP=S三角形ABC-S三角形BPQ，可以求出含t的四边形ACQP的面积，通过二次函数的图象及性质可写出结论．
【详细解答过程】
解：（1）Q在抛物线中，当x=-1和x=3时，y值相等，
所以对称轴为x=1，
因为y=15/8x=21/4与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M，
所以顶点M（1,27/8），另一交点为（6,6），
所以可设抛物线的解析式为y=a（x-1）^2-27/8，
将点(6,6)代入y=a（x-1）^2-27/8，
得6=a(6-1)^2-27/8，
所以a=3/8，
所以抛物线的解析式为y=3/8（x-1）^2-27/8；
（2）①在y=3/8（x-1）^2-27/8中，当y=0时，x1=-2，x2=4；当x=0时，y=-3，
所以A（-2,0）B（4,0）C(0,-3)
所以在直角三角形OCB中，OB=4,OC=3
所以BC=5，
所以BC/2=5/2，
因为5/2<4，
所以0≤t≤5/2
②当三角形BPQ为直角三角形时，只存在角BPQ=90度或角PQB=90度两种情况，
当角BPQ=90度时，角BPQ=角BOC=90度，
所以PQ//OC，
所以三角形BPQ∽三角形BOC，
所以BP/BO=BQ/BC，即4-t/4=2t/5，
所以t=20/13；
当角PQB=90度时，角PQB=角BOC=90度，角PBQ=角CBO，
所以三角形BPQ∽三角形BCO，
所以BP/BC=BQ/BO，即4-t/5=2t/4，
所以t=8/7，
综上所述，t的值为20/13或8/7；
③如右图，过点Q作QH垂直x轴于点H，
则角BHQ=角BOC=90度，
所以HQ//OC，
所以三角形BHQ∽三角形BOC，
所以BQ/BC=QH/OC，即2t/5=HQ/3，
所以HQ=6t/5，
所以S四边形ACQP=S三角形ABC-S三角形BPQ
=1/2*6*3-1/2（4-t）*6t/5
=3/5(t-2)^2+33/5，
因为3/5>0，
所以当t=2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是33．
图2
【总结】
这道题主要考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的图象及性质等，做出这道题的关键是熟练掌握并能够灵活运用相似三角形的判定及性质和二次函数的图象及性质等。
图3