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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 24 2 { 6 0{ }M x x N x x x ， ，则M N =
A． { 4 3x x B． 4 2{x x C． { 2 2x x D． { 2 3x x
2．设复数 z满足 =1iz ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． 2 2+1 1( )x y B． 2 2 1( 1)x y C． 22 ( 1) 1yx D． 22 ( +1) 1yx
3．已知 0.2 0.32 log 0.2 2 0.2a b c ， ， ，则
A． a b c B． a c b C． c a b D．b c a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 12
（5 12 ≈0.618，
称为黄金分割比例)，著名的"断臂维纳斯"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚
脐的长度之比也是5 12
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长
度为 26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数 f(x)= 2sincos
x xx x
在[ , ] 的图像大致为
A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用"卦"描述万物的变化．每一"重卦"由从下到上排列的 6个爻组成，爻分为阳爻"——"和阴爻"— —"，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻的概率是
A．516
B．1132
C．2132
D．1116
7．已知非零向量 a，b 满足 | | 2 | |a b ，且 ( )a b b，则 a 与 b 的夹角为
A．π6
B．π3
C．2π3
D．5π6
8．如图是求112 122
的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=1
2 AB．A=
12A
C．A=1
1 2AD．A=
112A
9．记 nS 为等差数列{ }na 的前 n项和．已知 4 50 5S a ， ，则
A． 2 5na n B． 3 10na n C．22 8nS n n D．
21 22n
S n n
10．已知椭圆 C 的焦点为 1 21,0 1,0F F( )， ( )，过 F2的直线与 C交于 A，B两点．若 2 2| | 2 | |AF F B ，
1| | | |AB BF ，则 C的方程为
A．2
2 12x y B．
2 2
13 2x y
C．2 2
14 3x y
D．2 2
15 4x y
11．关于函数 ( ) sin | | | sin |f x x x 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（2，）单调递增
③f(x)在[ , ] 有 4个零点 ④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥 P−ABC的四个顶点在球 O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为 2 的正三角形，E，F
分别是 PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球 O的体积为
A． 68 B． 64 C． 62 D． 6
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．曲线 23( )e xy x x 在点 (0 )0， 处的切线方程为____________．
14．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 21 4 613
a a a ， ，则 S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为"主主客客主客主"．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的
概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线 C：2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C的两条渐近线
分别交于 A，B两点．若 1F A AB
， 1 2 0FB F B
，则 C的离心率为____________．
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60分。
17．(12分)
ABC△ 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C ．
（1）求 A；
（2）若 2 2a b c ，求 sinC．
18．（12分）
如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是 BC，
BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求二面角 A−MA1−N的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线 C：y2=3x的焦点为 F，斜率为32的直线 l与 C的交点为 A，B，与 x轴的交点为 P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程；
（2）若 3AP PB
，求|AB|．
20．（12分）
已知函数 ( ) sin ln(1 )f x x x ， ( )f x 为 ( )f x 的导数．证明：
（1） ( )f x 在区间 ( 1, )2
存在唯一极大值点；
（2） ( )f x 有且仅有 2个零点．
21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案
如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以
乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠
多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，
若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分．甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X．
（1）求 X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， ( 0,1, ,8)ip i 表示"甲药的累计得分为 i时，最终认
为甲药比乙药更有效"的概率，则 0 0p ， 8 1p ， 1 1i i i ip ap bp cp ( 1, 2, ,7)i ，其中
( 1)a P X ， ( 0)b P X ， ( 1)c P X ．假设 0.5 ， 0.8 ．
(i)证明： 1{ }i ip p ( 0,1,2, ,7)i 为等比数列；
(ii)求 4p ，并根据 4p 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为
2
2
2
114
1
txttyt
，（t为参数）．以坐标原点 O为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C和 l的直角坐标方程；
（2）求 C上的点到 l距离的最小值．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10分）
已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 2 2 21 1 1 a b ca b c ；
（2） 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a ．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题
13．y=3x 14．1213
15．0.18 16．2
三、解答题
17．解：（1）由已知得 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C ，故由正弦定理得 2 2 2b c a bc ．
由余弦定理得2 2 2 1cos2 2
b c aAbc
．
因为0 180A ，所以 60A ．
（2）由（1）知 120B C ，由题设及正弦定理得 2 sin sin 120 2sinA C C ，
即6 3 1cos sin 2sin2 2 2
C C C ，可得 2cos 60 2C ．
由于0 120C ，所以 2sin 60 2C ，故
sin sin 60 60C C
sin 60 cos60 cos 60 sin 60C C
6 24
．
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME=12B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．
由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则
(2,0,0)A ， A1(2， 0， 4)， (1, 3, 2)M ， (1,0,2)N ， 1 (0,0, 4)A A
， 1 ( 1, 3, 2)AM
，
1 ( 1,0, 2)A N
， (0, 3,0)MN
．
设 ( , , )x y zm 为平面A1MA的法向量，则 1
1
0
0
AM
A A
m
m，
所以3 2 0
4 0x y zz
，
．可取 ( 3,1,0)m ．
设 ( , , )p q rn 为平面A1MN的法向量，则1
0
0
MN
AN
，
．
n
n
所以3 02 0q
p r
，
．可取 (2,0, 1) n ．
于是2 3 15cos ,
| | 52 5
‖
m nm nm n
，
所以二面角 1A MA N 的正弦值为105
．
19．解：设直线 1 1 2 23: , , , ,2
l y x t A x y B x y ．
（1）由题设得3 ,04
F
，故 1 23| | | |2
AF BF x x ，由题设可得 1 252
x x ．
由2
323
y x t
y x
，可得2 29 12( 1) 4 0x t x t ，则 1 2
12( 1)9tx x ．
从而12( 1) 5
9 2t
，得78
t ．
所以 l的方程为 3 72 8
y x ．
（2）由 3AP PB
可得 1 23y y ．
由2
323
y x t
y x
，可得2 2 2 0y y t ．
所以 1 2 2y y ．从而 2 23 2y y ，故 2 11, 3y y ．
代入C的方程得 1 213,3
x x ．
故4 13| |3
AB ．
20．解：（1）设 ( ) ( )g x f ' x ，则 1( ) cos1
g x xx
， 21sin()
)(1
x'x
g x
.
当 1,2
x
时， ( )g' x 单调递减，而 (0) 0, ( ) 02
g' g' ，可得 ( )g' x 在 1,2
有唯一零点，
设为 .
则当 ( 1, )x 时， ( ) 0g' x ；当 ,2
x
时， ( ) 0g' x .
所以 ( )g x 在 ( 1, ) 单调递增，在 ,2
单调递减，故 ( )g x 在 1,2
存在唯一极大值点，
即 ( )f ' x 在 1,2
存在唯一极大值点.
（2） ( )f x 的定义域为 ( 1, ) .
（i）当 ( 1,0]x 时，由（1）知， ( )f ' x 在 ( 1,0) 单调递增，而 (0) 0f ' ，所以当 ( 1,0)x
时， ( ) 0f ' x ，故 ( )f x 在 ( 1,0) 单调递减，又 (0)=0f ，从而 0x 是 ( )f x 在 ( 1,0] 的唯一
零点.
（ii）当 0,2
x 时，由（1）知， ( )f ' x 在 (0, ) 单调递增，在 ,
2
单调递减，而 (0)=0f ' ，
02
f '
，所以存在 ,2
，使得 ( ) 0f ' ，且当 (0, )x 时， ( ) 0f ' x ；当 ,2
x
时， ( ) 0f ' x .故 ( )f x 在 (0, ) 单调递增，在 ,2
单调递减.
又 (0)=0f ， 1 ln 1 02 2
f
，所以当 0,2
x 时， ( ) 0f x .从而， ( )f x 在 0,
2
没有零点.
（iii）当 ,2
x 时， ( ) 0f ' x ，所以 ( )f x 在 ,
2
单调递减.而 0
2f
， ( ) 0f ，
所以 ( )f x 在 ,2
有唯一零点.
（iv）当 ( , )x 时， ln( 1) 1x ，所以 ( )f x <0，从而 ( )f x 在 ( , ) 没有零点.
综上， ( )f x 有且仅有2个零点.
21．解：X的所有可能取值为 1,0,1 .
( 1) (1 )( 0) (1 )(1 )( 1) (1 )
P XP XP X
，
，
，
所以 X 的分布列为
（2）（i）由（1）得 0.4, 0.5, 0.1a b c .
因此 1 1=0.4 +0.5 +0.1i i i ip p p p ，故 1 10.1 0.4i i i ip p p p ，即
1 14i i i ip p p p .
又因为 1 0 1 0p p p ，所以 1 ( 0,1,2, ,7)i ip p i 为公比为 4，首项为 1p 的等比数列．
（ii）由（i）可得
8
8 8 7 7 6 1 0 0 8 7 7 6 1 0 13 4 1 p p p p p p p p p p p p p p p .
由于 8=1p ，故 1 83
4 1p
，所以
4
4 4 3 3 2 2 1 1 0 14 1 1 .3 25
7
p p p p p p p p p p
4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治
愈率为 0.8时，认为甲药更有效的概率为 41 0.0039257
p ，此时得出错误结论的概率非
常小，说明这种试验方案合理.
22．解：（1）因为2
2
11 11tt
，且
22 2 22
22 2
1 4 12 1 1
y t txt t
，所以C的直角坐标方程为
22 1( 1)
4yx x .
l的直角坐标方程为 2 3 11 0x y .
（2）由（1）可设C的参数方程为cos ,2sin
xy
（ 为参数， π π ）.
C上的点到 l的距离为
π4cos 11| 2cos 2 3 sin 11| 3
7 7
.
当2π3
时， π4cos 113
取得最小值7，故C上的点到 l距离的最小值为 7 .
23．解：（1）因为 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc c a ac ，又 1abc ，故有
2 2 2 1 1 1ab bc caa b c ab bc caabc a b c
.
所以 2 2 21 1 1 a b ca b c .
（2）因为 , , a b c为正数且 1abc ，故有
3 3 3 3 3 33( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c a c
=3( + )( + )( + )a b b c a c
3 (2 ) (2 ) (2 )ab bc ac
=24.
所以3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a .
