2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
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学 习 目 标 |
核 心 素 养 |
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1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) |
1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养. |
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的比较大小
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文字语言 |
数学语言 |
等价条件 |
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a－b是正数 |
a－b＞0 |
a＞b |
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a－b等于零 |
a－b＝0 |
a＝b |
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a－b是负数 |
a－b＜0 |
a＜b |
3.重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为( )
A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40
C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
A [ v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.]
3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
4．5 t <28 000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.]
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M、N的大小关系为________．
M ＞ N [ M－N＝a2＋a＋1＝2＋＞0，
∴M＞N.]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3.
v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1、v3的关系：v1＞3v3.
在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18，
这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式表示为
比较两数(式)的大小
【例2】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
作差法比较两个实数大小的基本步骤：
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝2＋.
∵2≥0，∴2＋≥＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.
y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a
＝0.2a(1.25－x)，
当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；
当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
2．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
1．思考辨析
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．( )
(3)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
[提示] (1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(2)正确．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．
(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
[答案] C
3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]
4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
[解] 由题意知，500x＋400y≤20 000，
即5x＋4y≤200.