【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB＝AC,延长BC到点D,使CD＝CA,连接AD交⊙O于点E.
(1)求证:△ABE≌△CDE.
(2)当 ∠ABC的度数为_______时,四边形AOCE是菱形.
(3)若AE＝6,BE＝8,求EF的长.
(1)证明：
∵AB＝AC,
∴∠ABC＝∠ACB,
∵AC＝DC,
∴AB＝CD,
∵四边形ABCE内接于⊙O,
∴∠BAE＋∠BCE＝180°,
∵∠BCE＋∠DCE＝180°,
∴∠BAE＝∠DCE,
同理可证:∠ABC＝∠CED,
∵∠ACB＝∠AEB,
∠ABC＝∠ACB,
∴∠AEB＝∠CED,
在△ABE和△CDE中,
｛∠BAE＝∠DCE,
∠AEB＝∠CED,
AB＝CD,
∴△ABE≌△CDE (AAS),
(2)答:当∠ABC=60°时,四边形AOCE是菱形.
①.从结论出发,求出补充的条件.
理由:连接OA、OC、OE,
∵四边形AOCE是菱形,
∴OA＝OC＝CE＝EA,
又∵OA＝OC＝OE,
∴OA＝AE＝OE＝CE＝OC,
∴△AOE、△COE都是等边三角形.
∴∠AOE＝∠COE＝60°,
∴∠AOC＝120°,
∴∠ABC＝½∠AOC＝60°,
②.从补充的条件出发,证明结论.
理由:连接OA、OC、OE,
∵AB＝AC, ∠ABC＝60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC＝∠ABC＝ ∠ACB＝60°,
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°,
∵AC＝CD,
∴∠CAD＝∠D＝ ½∠ACB＝30°,
∴∠COE＝2∠CAE＝60°,
∴∠AOE＝∠COE＝60°,
∵OA＝OC＝OE,
∴△AOE、△COE都是等边三角形,
∴OA＝OC＝OE＝CE＝EA,
∴四边形AOCE是菱形.
(3)解:由(1)得:
∠AEB=∠CED,
△ABE≌△CDE,
∴AE=CE=6,
∴BE=DE=8,
∴∠EBD=∠EDB,
∵∠EAC=∠EBC,
∴∠EAC＝∠EDC,
∴△AEF∽△DEC,
∴EF／EC＝AE／DE,
∴EF／6＝6／8,
∴EF＝9／2.