活用相似求正切值——2022年成都市中考数学第26题
三角函数概念中，正切是指锐角的对边与邻边的比值，通常情况下这个锐角属于某个直角三角形，三角函数将线段比值与角的大小建立起了函数关系。
相似三角形的性质中，最为熟悉的是它们的对应边成比例，也可推广至对应线段成比例，这两个概念中，均出现了线段比值，所以几何压轴题中，它们经常“孪生”出现，找到了相似，比值自然不成问题。
题目
如图，在矩形ABCD中，AD=nAB(n>1)，点E是AD边上一动点(点E不与A，D重合)，连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H.
(1)【尝试探索】在点E的运动过程中，△ABH与△DEH始终保持相似关系，请说明理由；
(2)【深入探究】若n=2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值；
(3)【拓展延伸】连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值(用含n的代数式表示).
解析：
(1)典型的一线三直角模型，∠A=∠D=∠BEG=90°，于是∠AEB+∠DEH=90°，而∠AEB+∠ABE=90°，故∠ABE=∠DEH，因此△ABE∽△DEH；
(2)限定了矩形ABCD的形状，边长之比为1:2，同时矩形EBFG形状也随之确定，边长比相同；
问题在于在点E运动过程中，点H何时会成为中点？
不妨设AE=x，AB=a(a是常数)，我们可表示出AD=2a，DE=2a-x，由于点H成为CD中点，于是DH=1/2a，前一个小题的结论△ABE∽△DEH依然成立，所以列出比例关系式得AB:DE=AE:DH，然后将上述表示结果代入，可得关于x的方程，x²-2ax+1/2a²=0，解得x=(1±√2/2)a，所以tan∠ABE=AE:AB=1±√2/2；
原本解到此处答案已出，但是在点E运动过程中，会出现两次H点为中点的情况，如下图：
熟悉这两种位置下的图形，对后续解题有帮助；
(3)等腰△BFH以FH为腰，说明有两种情况，FH=BH或FH=BF，下面分别求解：
①当FH=BH时，如下图：
利用FH=BH，再加上FG=BE，∠G=∠BEH=90°，可证明Rt△FGH≌△BEH(HL)，所以GH=EH，即点H为EG中点，由于矩形EBFG∽矩形ABCD，因此完美继承了边长比为1:n的关系，可得EG=nBE，所以EH=n/2·BE，即EH:BE=n:2，这恰好是△DEH与△ABE这对相似三角形的对应边，即它们的相似比为n:2，所以得到DE:AB=n:2，我们仍然设AB=a，则DE=n/2·a，所以AE=na-n/2·a=n/2·a，最后求出tan∠ABE=AE:AB=n/2；
②当FH=BF时，如下图：
我们设FG=b，则EG=BF=FH=nb，利用勾股定理在Rt△FGH中求出GH=(√n²-1)·b，所以EH=(n-√n²-1)b，再次求出EH:BE=n-(√n²-1)，所以DE:AB=n-(√n²-1)，可得DE=(n-(√n²-1))a，于是AE=na-(n-(√n²-1))a=(√n²-1)a，最后求出tan∠ABE=√n²-1.
解题反思：
这道题在思考第3小题的时候，要注意FH和点C的位置关系，虽然最后我们在求解过程中并没有用到，但这是一处明显的碍眼，尽管点C事实上在线段FH上，但证明没有必要。
如果在答题过程中，没有证明这三点共线，却使用到了△DEH和△GFH的相似关系，那逻辑上就错了，形成所谓的“伪证”。
两个相似的矩形，它们拥有相同的边长比，这是建立联系的关键，同时△ABE∽△DEH这个结论每个小题都提到了，这一贯彻始终的结论，说明相似三角形在本题中的地位非常重要。
总体上来讲，这道压轴题难度适中，只要没有被“三点共线”误导，基本上会很顺利，这也说明我们在平时教学中，要注重知识点间的关联，以本题的正切值为例，本质上是两条线段的比值，因此寻找初中阶段各知识点中，存在线段比值的部分，这样就形成了独属本题的知识网络，拓展得越好，成功解答的可能性越大。
对于学生来讲，建构初中数学知识体系不是一朝一夕的事，需要每天将新学的知识与旧的知识建立起关联，好比搭房子一样，一块一块地将体系建立起来，而学习后的反思，就是每块砖间的粘合剂。
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