hello小伙伴们，我是你们亲切张哥，今天给大家开启一个专题：神奇的数字“3”.今天我们一起来聊一聊勾股三角形.
老子的《道德经》第四十二章有这样一句话：“道生一，一生二，二生三，三生万物”.在初中数学几何知识当中，也存在类似的情况.在几何题目当中很多我们常用的几何模型，解题方法，都与这个“3”脱不开关系，我们从勾股三角形开始一一研究.
在我们学习了勾股定理和二次根式以后，就会遇到这样的这样的题目，已知三角形的边长，求面积的题目，我们通过一个例题来说明.
例：如图，△ABC中，AB=10，AC=17,
BC=21，求△ABC的面积.
有小伙伴会说，很简单啊，我们用海*公伦**式直接一步到位就可以了呀，但是，海*公伦**式并不是义务教育阶段认可的公式，是不能在解答题中直接使用的，所以，我们再想想其他办法.
学习了勾股定理以后，我们就知道可以过点A作BC的垂线AD.
设BD=x,则CD=21-x，根据勾股定理：AD²=AB²-BD²=AC²-CD²
∴10²-x²=17²-（21-x）²，解得x=6
∴BD=6，CD=15，AD=8,
∴S△ABC=BC×AD÷2=84.
现在，我们讲这个题目建模，提取关键点.在学习了勾股定理之后，知道三边，就可以求到三角形的面积.
我们将模型深化，进行探究，如果去掉一个条件，如下：△ABC中，AB=10，AC=
17，求△ABC的面积．
还可以求吗？
我们发现，此时，不能求出面积了，于是我们回顾上面的情况，大致得出一个结论：知道三边，即三个条件，可求三角形面积，缺了一边后，少了条件，自然就不能求面积了.
接着刚才的继续研究，我们不给出底边BC的长度，添加一个角呢？如下：△ABC中，AB=5，AC=6，∠C=30°，求△ABC的面积．
继续过点A作BC的垂线AD.
我们将上面这个题提取模型，得到：三角形，已知两个边，一个角度，也可以求出三角形的面积.
思考：如果已知三角形的一个边长，需要知道几个角的度数，才能求出三角形的面积？
猜想：两个角度.
如下：△ABC中，AC=6，∠B=45°，∠C=
30°，求△ABC的面积．
小伙伴可以自己证明.
模型提取：
三角形，三个条件，三种情况：1. 三边；2. 两边+一特殊角；3. 一边+两特殊角.
辅助线：作垂线（不破坏特殊角）
我们把这个模型叫做勾股三角形.
下面，就是特殊角的研究时间，初中数学当中，有哪些角度算作特殊角呢？基本上就是我们熟悉的两块三角板的角度及其加减得到角度.如下：
30°、45°、60°、15°、22.5°、67.5°、75°、105°、120°、135°、150°、165°.
1. 30°、45°、60°、 的处理方式：
30°、45°、60°、的处理方式相对简单，当出现这些角度的时候，作垂线将其放入直角三角形中，再利用线段比值计算即可。有一点需要注意：在作垂线的时候，不可将这些角度分开！
另外，包含120° 的等腰三角形：
2. 15°、22.5°的处理方式：
两者的处理方式一样，构造一个包含30°、45°的直角三角形。
如图：∠B=15°，则在BC上取一点D，使得AD=BD.
如图，∠B=22.5°，则在AB上取一点D，使得AD=CD.
这样就得到了两个三角形的三边比，完成了解三角形的过程.
3. 67.5°、75°的处理方式：
如图，两图分别是以30°和45°为顶角的等腰三角形，则处理方式一样，过一底边顶点向腰作垂线，再借助第2种情况处理即可.
4. 75°、105°的处理方式：
如图，图1是由45°、60° ，75°组成的三角形，∠BAC=75°；图2是由30°、45° 、105° 组成的三角形，∠BAC=105°.两者的处理方式一样，均是作垂线将75°，105°分开，其中：75°=45°+30°；
105°=60°+45° 。
5. 120°、135°、150°的处理方式
如图：这三个角度常用的处理方式是作垂线，并与延长线相交构造我们熟悉的三角板.
下面我们来看看勾股三角形的拓展.
勾股三角形从本质上说其实就是解三角形，但是因为三角函数是九年级才学习的，所以我们在命名上就按照勾股定理来命名.在学习了三角函数以后，我们的特殊角的范围会扩大到三角函数.如下：
例：在△ABC中，∠B=30°，tanC=0.5，
AB=6，求△ABC的面积.
我们来看一下这个题的条件，一个∠B，一个∠C的正切值，加上一个边，满足勾股三角形的第三种情况“一边+两个角”，所以，还是作AD垂直于BC.
这就是勾股三角形的拓展.
勾股三角形的应用：
勾股三角形尽管我们举例是求三角形的面积，其实不然，勾股三角形最重要的应用是求线段长度，试想一下，如果不能求到相关线段，何谈求面积呢？
勾股三角形的适用面特别广泛，在考试当中分布于几何，函数当中，无处不在，因为解三角形这个知识本身就很重要，我们现在将这个模型进行提炼，升华，各位小伙伴一定要好好掌握。篇幅原因，明天张哥给各位小伙伴放上勾股三角形具体的应用.