通知：我已经将刷题指南全部整理到了Github ： https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master ，方便大家在电脑上阅读，这个仓库每天都会更新，大家快去给一个star支持一下吧！

121. 买卖股票的最佳时机

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：输入：[7,1,5,3,6,4]输出：5解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：输入：prices = [7,6,4,3,1]输出：0解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思路

*力暴**

这道题目最直观的想法，就是*力暴**，找最优间距了。

classSolution{
public:
intmaxProfit(vector<int>&prices){
intresult=0;
for(inti=0;i<prices.size();i++){
for(intj=i+1;j<prices.size();j++){
result=max(result,prices[j]-prices[i]);
}
}
returnresult;
}
};

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(1)

当然该方法超时了。

贪心

因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

C++代码如下：

classSolution{
public:
intmaxProfit(vector<int>&prices){
intlow=INT_MAX;
intresult=0;
for(inti=0;i<prices.size();i++){
low=min(low,prices[i]);//取最左最小价格
result=max(result,prices[i]-low);//直接取最大区间利润
}
returnresult;
}
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

动态规划

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得现金

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

2. 确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递归公式我们就分析完了

3. dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4. 确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5. 举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

以上分析完毕，C++代码如下：

//版本一
classSolution{
public:
intmaxProfit(vector<int>&prices){
intlen=prices.size();
vector<vector<int>>dp(len,vector<int>(2));
dp[0][0]-=prices[0];
dp[0][1]=0;
for(inti=1;i<len;i++){
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i]);
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],prices[i]+dp[i-1][0]);
}
returndp[len-1][1];
}
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i]);
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],prices[i]+dp[i-1][0]);

那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：

//版本二
classSolution{
public:
intmaxProfit(vector<int>&prices){
intlen=prices.size();
vector<vector<int>>dp(2,vector<int>(2));//注意这里只开辟了一个2*2大小的二维数组
dp[0][0]-=prices[0];
dp[0][1]=0;
for(inti=1;i<len;i++){
dp[i%2][0]=max(dp[(i-1)%2][0],-prices[i]);
dp[i%2][1]=max(dp[(i-1)%2][1],prices[i]+dp[(i-1)%2][0]);
}
returndp[(len-1)%2][1];
}
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

这里能写出版本一就可以了，版本二虽然原理都一样，但是想直接写出版本二还是有点麻烦，容易自己给自己找bug。

所以建议是先写出版本一，然后在版本一的基础上优化成版本二，而不是直接就写出版本二。

PDF开放*载下**

以下资源由「代码随想录」原创出品！

• 回溯算法学习手册开放*载下**链接 : https://pan.baidu.com/s/1p0uvcKb5GRoVgEI2C1CD5Q 密码: smbf
• 二叉树学习手册开放*载下**链接 : https://pan.baidu.com/s/1fcweZCJK3K8G0FR-nZhr7A 密码: 75en
• 贪心算法学习手册开放*载下**链接 : https://pan.baidu.com/s/1w8nUdBmGWqyv0g_fwlAINg 密码: 1dl3

（Carl将陆续整理各个专题的PDF*载下**版本）

力扣刷题指南：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master

这里每天8:35准时推送一道经典算法题目，我选择的每道题目都不是孤立的，而是由浅入深，环环相扣，帮你梳理算法知识脉络，轻松学算法！

@代码随想录 期待你的关注