Scratch编程学数学之米拉分形——繁花似锦
一、项目的来由
前不久在B站看到有位UP主介绍用几何画板画一个叫“米拉分形”的视频，引发了我的兴趣，我们不妨用Scratch编程来试一试？ 因为此前也做过“上帝的指纹”曼德勃罗特集，也画过渔网状的美图。
曼德勃罗特分形（左）和渔网图形（右）
没想到做出来达到了超乎预期的效果！先来几张单图看看，后面还有更酷炫的！
这个所谓的“米拉分形”似乎不是那种很正统的分形图，但是有那么点儿相似的味道，说是分形也不为过。它的问题模型有点像渔网图，是通过坐标递推实现迭代的。其迭代主函数关系虽然是非线性的，但表达式也并不复杂，一个二次分式函数而已。
主函数和坐标递推关系如下图
二、算法分析和相应程序积木
对于这种坐标递推迭代关系的问题，通常用循环或者递归来实现。
（一）首先我们用循环来试一试吧。
1.不管哪种算法，首先要建立一个实现主函数的子程序积木。这里使用了逐步赋值的方法，先求分式值再求和，程序显得简洁不冗长。
求MIRA函数值的子程序
2.第二步，建立坐标值递推迭代的子程序，由于Scratch没有返回值功能，因此在建立求函数值的子程序时，都要把返回值放在一个变量里面，使用函数值时，先调用运行子程序，再把变量中的返回值取出来用。这里也一样用这个方法。
坐标迭代子程序
3.描图程序，就是一个循环，次数就是迭代的深度。每迭代一次，就把迭代子程序里面算出来的坐标值x和y,用来当坐标描点。只不过要将这些坐标值适当的放缩，这里主要是适度放大，不然图像就不可见。因此需要一个放大系数P。适当对画笔颜色做些配置。
画MIRA分形的子程序
4.剩下的就是主程序，设置参数，调用画图子程序来画图了。这里要注意，参数b要是非常接近1的小数好一些，但等于1也麻烦，a的绝对值超过1的话，坐标点发散，成图不佳。值初始值也要影响图形形状，它们都等于0时比较极端，缩成了一点。
画MIRA分形图的主程序和图形
（二）要用递归实现这个目标，只需要对循环程序做一些改变即可。
画MIRA分形的描图递归子程序
调用递归子程序画的MIRA分形图
两个MIRA图的组合
三、拓展：看来参数的微小变化，都有可能带来图的形状有大变化。而且参数众多，这样MIRA图多姿多彩的可能性很大。能不能编写一个展示丰富多彩的MIRA图的动画程序呢？能不能让多个MIRA图形堆叠在同一屏幕上形成烟花绽放的盛景呢？这又要用到随机函数、画笔的檫除功能等等。后面我们将用运行程序录屏的方式来呈现这个状态，看看会不会有更大的惊喜？真是数学之美，美不胜收！敬请期待~
多图堆叠的案例