小编昨日将张老师著的《混沌交易法：用计算让股市开口说话》的第一节发出来，这一节很枯燥，虽然点击不高，但居然引发了大量的收藏和转发，还有热心的朋友进行了评论，本号得到张老师授权，继续推送本书的相关章节，以飨读者。关注本号，可以每日阅读混沌交易法。以下为今日的正文。

分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort 1924-2010)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。曼德布罗特在空中拍摄的100公里长的海岸线，发现它与放大了的10公里长海岸线照片，看上去会十分相似。

具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……，曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。1975年，他创立了分形几何学(fractal geometry)。

1、分形是大自然内在数学秩序

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为非负实数维数，如0.63、1.58、2.72、log2/log3。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。

一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学，是大自然复杂表面下的内在数学秩序。

2、初始分形是万事万物的根本结构

分形是事物各个部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似；以西兰花为例，一小簇是整个花簇的一个分支，它就是一个分形，在不同尺度下它们具有自相似的外形，较小的分支通过放大适当的比例后，可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇，如下图。初始分形是什么？是西兰花的种子。这就是我们常说的“种瓜得瓜，种豆得豆”。

古代哲人很早就意识到自然界的许多事物，其整体与局部存在着某种相似性。诸如华严经里的“一花一世界，一叶一如来”，“微尘中，各现无边刹海；刹海之中，复有微尘；彼诸微尘内，复有刹海；如是重重，不可穷尽。”；周易里的“无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，楞严经里的“于一毫端，现十方剎；坐微尘里，转*法大**轮”。这些思想都体现了局部隐含着整体的痕迹，也是阳中有阴、阴中有阳的最佳写照。

3、分形维数是大自然演变的密码

分形维数，又叫分维，是定量刻画分形特征的参数，在一般情况下是一个分数（可是整数，也可以是非整数），它表征了分形体的复杂程度，分形维数越大，其客体就越复杂，反之亦然。通常欧几里德几何（即我们初中时学习的几何）中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是 3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、射尔宾斯基海绵等的复杂性，再也无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。

有一个简单的公式可以用来计算分形的维度。设有一立方体，将它的每一边放大二倍，放大的图形正好是原来的8倍。同样的道理，对于一个D维的物体，若将其每一维的尺度放大L倍，则会得到N个原来的物体，此时有N=LD，两边取对数得D=logN/logL。这就是数学家豪斯道夫(Hausdoff)对分形维数的定义。以下我们举几个实例说明分维的计算。

①康托尔尘：一维杆放大三倍(L=3)，去掉中间一段，得到两杆(N=2)，于是D=log2/log3= 0.301/0.4771=0.631。表示康托尔尘虽然是由一排分开的微尘所组成，但其维度却不为零；因一排微尘的密实度不若直线，故其维度比直线的维度1小。

康托尔尘

②西平斯基衬垫(Sierpinski Gasket)： 这个图案是将三角形每边扩大二倍，得到四个三角形后，拿去中间一个三角形，还剩三个三角形，因此D=log3/log2=1.5849，亦即衬垫的分维大于1，但小于2。

西平斯基衬垫

③西平斯基毯片(Sierpinski Carpet)： 这个图案是将正方形每边放大三倍后，得到9个正方形，再将中心的正方形拿掉，剩下8个正方形，所以其分维为D= log8/log3=1.89。平面的分维为2，西平斯基毯片的分维比2小一些，这短少的维度就是被取走的中心部分的维度。

西平斯基毯片

④科赫(Koch)曲线： 科赫曲线的建构过程中，将一线段分成三等份，去掉中间一份，再以2份等长段线搭成一个三角形代替之。故其分维为D=log4/log3=1.262。科赫曲线具有1.262的维度，这多出来的0.262维度是隐藏在“如是重重，不可穷尽”的层状结构之中。

科赫曲线与科赫雪花

科赫曲线可用以仿真海岸线、浮云边界、分子扩散、渗透等自然现象。若将三个科赫曲线组成三角形，并无限的重复这样的步骤，能得到科赫雪花。

⑤朱利亚集合：这是一个在复平面上形成分形的点的集合。以法国数学家加斯顿•朱利亚（Gaston Julia）的名字命名。朱利亚集合可以由下式进行反复迭代得到：fc(z)=z2+c，对于固定的复数c，取某一z值（如z = z0），可以得到序列z0,fc(z0),fc(fc(z0)),fc(fc(fc(z0))),....。这一序列可能反散于无穷大或始终处于某一范围之内并收敛于某一值。我们将使其不扩散的z值的集合称为朱利亚集合。

朱利亚集合

⑥曼德布罗特集合： 它是在复平面上组成分形的点的集合一种分形图案。以数学家曼德布罗特的名字命名。曼德布罗特集合与朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式来进行迭代。曼德布罗特集合可以用复二次多项式:f_c(z) = z^2 +c来定义 其中c是一个复参数。对于每一个c，从开始对fc(z)进行迭代。序列的值或者延伸到无限大，或者只停留在有限半径的圆盘内。

曼德布罗特集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。从数学上来讲，曼德布洛特集合是一个复数的集合。一个给定的复数c或者属于曼德布洛特集合M，或者不是。这个集合是分形里的最高形式，它就像一个端坐的佛，审视着宇宙的变迁。

前两者皆为曼德布罗特集合，第三图为端坐的佛

总结：由以上分形集可以得知，分形是一种不规则的、精细的结构，具有自相似性，通过分形维数进行无限迭代；它可以分成数个部分，且每一部分都是整体缩小后的形状；它也可以组成更大级别的结构，且大结构与最初始的小结构相似。 数学家曼德布罗特发现了这一点，将分形运用于股市，获得了巨大的成功，详见明日解读。

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