三角形作为最简单的多边形，我们经常遇到有关三角形的角平分线、中线及高的几何题，本文介绍的是较特殊的三角形的等角线（Equiangular lines）。
一、等角线的定义
如图1，给定∠AOB，OT是其角平分线，过点O作两条关于OT对称的射线OX、OY，则称OY是OX关于∠AOB的等角线。
如图2，在三角形ABC中，AD为∠BAC的角平分线，过点A作两条射线分别交对边BC于E、F两点，如果AE、AF关于AD对称，即∠BAE=∠CAF、∠EAD=∠FAD，则AE、AF为∠BAC的等角线。
该定义可归纳为“从三角形一个顶点引出的关于角平分线对称的射线或线段称为等角线”。
二、三角形等角线的基本结论
结论（一）：在三角形ABC中，自顶点A引两条等角线AP、AQ分别交对边BC于P、Q（图3），则有AB²/AC²=(PB·QB)/(PC·QC)。
解题思路（1）:根据①共角定理，若两个三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积之比（详见共角定理及应用举例）；②等高的两个三角形面积之比等于底边之比，可得如下结果：
已知∠BAP=∠CAQ，则S△BAP/ S△CAQ
=(AB·AP)/(AC·AQ)=BP/CQ……①；
同理，∠BAQ=∠CAP，则S△ABQ/ S△CAP
=(AB·AQ)/(AP·AC)=BQ/CP……②。
将①·②得：
(AB·AP)/(AC·AQ) ·(AB·AQ)/(AP·AC)
= BP/CQ·BQ/CP，化简后，
AB²/AC²=(PB·QB)/(PC·QC)成立。
解题思路（2）：根据PB·QB或PC·QC的线段乘积式，想到割线定理的代数表达式，作△APQ的外接圆交AB于E，交AC于F（图4）。
已知∠BAP=∠CAQ，则弦EP=FQ，
连接EF，易证EF∥PQ， BE/CF= AB /AC。
根据割线定理有：
PB·QB=BE·AB…………①；
PC·QC=CF·AC…………②。
用①÷②得：
(PB·QB)/(PC·QC)=( BE·AB)/( CF·AC)
=AB/AC·BE/CF
= AB/AC·AB /AC
= AB²/AC²,则
AB²/AC²=(PB·QB)/(PC·QC)得证。
结论（二）：如图5，圆O为△ABC的外接圆，D为劣弧BC上一点，过点D作AB延长线、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，若AD、AQ是∠BAC的等角线，则AQ⊥EF。
解题思路：根据西姆松定理，E、F、G三点共线，设AQ交EG于M，交DG于N（图6）。
连接DC，易证D、F、G、C四点共圆，则
∠DCF=∠DGF=∠DAB=∠CAQ。
在Rt△AGN和△GMN中，
∠GAN+∠ANG=90°，即
∠MGN+∠ANG=90°，
则∠GMN=180°-（∠MGN+∠ANG）
=180°-90°
=90°，故AQ⊥EF成立。
结论（三）：如图7，自△ABC的顶点A引两条等角线AD、AE，AD交对边BC于点D，AE交△ABC的外接圆于点E，则AB·AC=AD·AE。
解题思路：连接BE（图8），易证△ABE∽△ADC，
则AB/AD=AE/AC，
故AB·AC=AD·AE。
