例 甲、乙两人进行百米赛跑，甲前半程的平均速度为m米/秒，后半程的平均速度为n米/秒；乙前半时的平均速度为m米/秒，后半时的平均速度为n米/秒.设m≠n，则甲和乙中，____先到达终点.
解析
(1) 甲走完全程所用时间＝ ＋ ＝ .
(2) 不知道的量，设未知数，然后建立方程.
设乙走完全程所用时间为t(秒)，则 tm＋ tn＝100，∴t＝ .
(3) 比较 与 的大小，求差法：
-
＝
＝ .
∵m≠n，∴ ＞0，
∴ ＞ ，乙先到达终点.
答案 乙
练习
1. 在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
2 ×2 ＝2 ，2 ×2 ＝2 ，2 ×2 ＝2 …→2 ×2 ＝2 …→a ×a ＝a (m、n都是正整数)．
我们亦知： ＜ ， ＜ ， ＜ ， ＜ …
(1) 请你根据上面的材料归纳出a、b、c(a＞b＞0，c＞0)之间的一个数学关系式，并证明．
(2) 试用(1)中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖(仍不饱和)，则糖水更甜了”．
2. 用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x(x≥1)单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 ，现有a(a≥2)单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.
山路十八弯，车从弯中穿
1.
解析
(1) 建立一个真分数为 ，分子、分母同时加上一个正数c为 ，显然 ＜ .
比较大小用求差法.
(2) 比较前后含糖量即可.
答案
(1) ＜ .
－
＝
＝
＝ .
∵a＞b＞0，c＞0，∴ ＞0，∴ ＞ .
(2) 原来糖水的含糖量为 ，后来糖水的含糖量为 ，显然 ＜ ，∴糖水更甜了.
2.
解析
(1) ∵蔬菜上残留的农药量︰本次清洗前残留的农药量＝ ，
∴蔬菜上残留的农药量＝本次清洗前残留的农药量× .
x为每次用水量.
(2) 一次清洗用水量为a，残留农药为 ；
水分成两份，第一次清洗用水量为 ，第一次残留农药为 ，第二次清洗用水量为 ，还残留农药为 × ＝ ＝ .
由分母确定：
＞ .
答案
(先回答后说理)把水平均分成2份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量较少.
①一次清洗用水为a，残留农药为 .
②水分成两份，第一次清洗用水量为 ，第一次残留农药为 ；
第二次清洗用水量为 ，还残留农药为 ×
＝ .
∵1＋a＜1＋a＋ ，
∴ ＞ .
∴把水平均分成2份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量较少.