平均值和中位数

最近读到一则消息：2022年底，A股的总市值84.88万亿，截止2023年6月30日收盘，A股总市值93.42万亿，增加了8.54万亿，股民数为2.18亿，人均盈利3.91万。

看到这个消息，您是怎么想的呢？如果您没有进入股市，是不是觉得错失了这个财富增加的机会？如果您已经是股民，但是没有赚到钱，是不是觉得应该深刻检讨？

再看一则消息：2021年年底A股市值为91.2万亿，比2020年增加了11.5万亿。在这种情况下53.9%的股民盈利，46.1%的股民亏损。也就是说，接近一半的人亏损，接近一半的人赚钱。

资质平均的股民，收益应该是不赚不亏，那么那所谓“人均盈利”3.91万是怎么回事呢？这钱都到哪儿去了。不管是基金公司拿走了，还是少数掌握资源的人拿走了。反正这些钱没有进去普通股民的口袋。

在这个例子中，我们不能只凭“人均盈利”这个指标作出判断和决策。

为了更好理解这个道理，我们再看一个例子：

假设您是一位工程师，你带领的研发团队，成功开发了一个火箭关键零件。并获得埃隆马斯克创办的 太空探索公司 SpaceX的大量订单 。

公司奖励你们去全市最高级的餐厅庆祝。

在包间里环顾四周，都是你熟悉的面孔，有资深工程师，有实习生一共十位同事。看着这群可爱的同事，你觉得有必要向公司提议要给他们加工资了。有意思的是，从1号椅子到10号椅子，刚好是月薪从低到高，您月薪最高坐在第10号椅子。

您默默地回想一下，他们的月薪分别是：（单位为万）2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 32, 40,

您算了一下，你们的平均月薪刚是15万元，您的月薪最高，是40万元。这时你可以用 “平均值” ，这个指标，来描述你们小组的工资水平。

埃隆马斯克，听说了你们的成就，觉得很感兴趣，特地跑过来找你们庆祝，他坐在了第11张椅子上。他很高兴地表示今晚他是你们小组的一员。此时你们的小组平均月薪一下子变成了8000万。

令你很困惑的是，你们十位同事的收入并没有增加。但你能跟你的老板说，因为我们的平均月薪只有8000万，还需要加薪吗？

在我们收集的数据里面，平均值经常会被异常值拉得很高或很低。

此时“中位数”更能代表数据的特征，顾名思义，中位数是排在“中间”的数字，如果遇到一组数字的个数是偶数，那么中位数是中间两个数字的平均。

在马斯克来之前，中位数是排第五和排第六的数的和的平均：（10+12)/2=11万元，马斯克来之后，中位数就是12万元。由此可见，有时“中位数”更能抵抗异常值的影响。

在这11个人当中，有一半同事的月薪小于中位数12万元，有一半同事的月薪大于中位数。

2021年在A股中接近一半的人亏损，接近一半的人赚钱，中位数是刚好是0 。

中位数把数据分为了两部分，同样我们可以把数据等分为四部分，第一四分位数由处于底部的25%的数据构成，往后的25%的数据构成了第二四分位数，依此类推。

同样的，A股收益数据还可以分为“十分位数”，每组包含10%的数据。如果你的收益属于收益顶层的那10%，那么这意味着你要比90%的股民挣得都多。

这类描述性数字的好处在于，它们描述了某个具体的值在与其他数据进行比较时所处的位置。

每年的期末考试，您都关心孩子的成绩。

孩子告诉您，这次期末考试的总成绩是700分。700分是个绝对值，如果没有其他的参照，意义不大。

如果老师告诉您，您的孩子成绩排在全市前面1000分位，那他的成绩排在前千分之一，如果你们全市有10000位学生参加开始，他排在前十名。这时你就不需要再给孩子增加课外辅导班了。

前千分之一是个相对值，这个数值比700分更加有意义。

标准差

你带领火箭零件的开发团队，你们的工资分别是（万元）：2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 32, 40。

公司的另外一个部门，汽车零件开发部，刚好也是10位同事，他们的工资分别是（万元）：14,14,14,15,15,15,15,16,16,16。

两个部门的平均工资都是15万元。

你更喜欢哪个团队呢？

从上面的数据观察，汽车零件开发团队的工资，都比较接*平近**均值，而火箭开发团队的工资多数偏离平均值。前者看起来更加“稳定”，后者“波动”更大。

统计学家用“方差”或者“标准差”表示这种“波动”。

标准差（standard deviation）是用来度量一组数据离其平均值的偏差程度的统计量。在统计学中，标准差常用来衡量一组数据的离散程度，即数据偏离平均值的程度。

标准差越大，表示数据更加“离散”，表示“波动”越大。

方差=偏差平方和/n （n是表示一组数字的个数）

方差开根号后就是标准差：标准差=√方差

偏差平方，表示组内其中一个数字与平均值的差，然后计算这个差的平方值。偏差平方和，表示这组数据所有数值偏差平方的加总。

现在我们计算火箭零件开发团队的工资标准差：

1、计算算各个数值的偏差平方

(2 - 15)^2 = 169

(4 - 15)^2 = 121

(6 - 15)^2 = 81

(8 - 15)^2 = 49

(10- 15)^2 = 25

(12 - 15)^2 = 9

(16 - 15)^2 = 1

(20 - 15)^2 = 25

(32 - 15)^2 =289

(40 - 15)^2 = 625

2、计算偏差平方和

169 + 121 + 81 +49 +25 + 9 + 1+ 25+ 289+625 = 1349

3、计算方差

s^2 = 1349/10 = 134.9

4、计算标准差

标准差，是方差的开根号：s = √ 134.9 =11.6

5、结论：火箭零件开发团队的工资标准差是11.6

同样的方法，我们计算得出汽车零件开发团队的工资的标准差是0.77。对比可以看出汽车零件的工资波动性，比火箭开发团队的工资低得多。

如果您是有足够的自信，相信您更喜欢留在火箭零件开发团队，因为在这里可以争取到高薪。而有些人喜欢加入汽车零件开发团队，因为在这里可以稳定地得到可观的收入，就像很多人喜欢加入公务员队伍一样。选择创业的“标准差”更大，因为可以像马斯克那么富有，也可以一败涂地。

在投资方面，有些人喜欢买股票，有些人喜欢买基金。股票的标准差更高，收益可以很高，也可能血本无归。基金可以获得稳定的收益，但收益率不会很高。

“标准差”的应用非常广泛，统计学高手可以使用“标准差”去思考和拆解人生的难题。

质量的本质是标准差

所谓质量好，就是波动小，标准差小。

在这个系列的第一遍文章里面，

Rocky管理的流水线上生产的胸杯，宽度要求57mm，允许公差是正负3mm。

实际生产抽检发现平均值是57.26；标准差是0.8134；由于标准差足够小，加或减去3个标准差，都不会超出允许公差的范围。根据 中心极限定律 （后面的文章会细讲），超出3个标准差的几率会很稀少，所以这个流水线的缺陷率就比较低。

质量控制就是要控制标准差，控制波动。

如果你是一个公司的采购，你应倾向于选择标准差控制得比较好的厂家。

产品如此，人也如此。如果有一位同事，有时候会超额超前完成工作任务，有时会很消极，不能按时完成，甚至闯祸。算起来，他的“平均水平”还不错，但这样的人，你敢让他担任重要岗位吗？

领导也一样。“可预测的”（Predictable）是评价管理者的一个指标。如果您是一个Predictable的管理者，那下属总能预测您的决策。一个管理者的决策越能预测，他越是一位好的管理者。

员工需要明确了解到，我做这件事情，老板会支持还是反对？做那件事情会受到奖励还是惩罚？一个琢磨不定的管理者，每次决策都不一样，听上去很有道理，但总彼此矛盾。高兴时小事吹上天，不高兴时，再大的功劳也无动于衷。员工无法预测下一次做同样的事情会有什么后果。这样的管理者是不可预测的。

面对不可预测的管理者，员工从不做决定，不提意见。这样的管理者什么事都要问，什么事都要管，很辛苦，但管理效率极其低下。

我们要做一个可预测的管理者。

这一章，我们学习了描述性统计，除了平均值，我们还可以用中位数和标准差去描述一组数据。下面是一道习题，希望大家动动笔，更好地理解这些概念。