曲线y^3=36x^2+53x+22的主要性质
- 主要内容：
本文主要介绍曲线方程y^3=36x^2+53x+22的定义域、单调性、凸凹性及极限等性质，并通过函数导数知识求函数的单调和凸凹区间。
- ※.曲线的定义域：
观察曲线的特征，自变量x可以取全体实数，则曲线方程的定义域为：（-∞，+∞）
- ※.曲线的单调性
主要思路是求出曲线方程的一阶导数，再判断曲线的单调性。
∵y^3=36x^2+53x+22,
∴3y^2*y'=72x+53,
则：y'=(72x+53)/3y^2,
令y'=0，有: 72x+53=0。
即：x=-53/72,进一步可知函数单调性及单调区间：
(1)当x∈(-∞,- 53/72]时，y'<0,此时为减曲线。
(2)当x∈(-53/72,+∞)时，y'>0,此时为凹曲线。
- ※.曲线的凸凹性
主要思路是求出曲线方程的二阶导数，再判断函数的凸凹性性。
∵y'=(1/3)(72x+53)*y^(-2)
∴y"=(1/3)[72*y^(-2)+( 72x+53)*(-2)*y^(-3)*y']
=(2/3)[36y^(-2)-(72x+53)y^(-3)*y']
=(2/3)[36y^(-2)-(72x+53)y^(-3)*(1/3)(72x+53)*y^(-2)]
=(2/9)[108y^(-2)-(72x+53)^2*y^(-5)]
=(2/9)[108y^3-(72x+53)^2]*y^(-5)
将y^3代入上式得到：
y"=(2/9)[108(36x^2+53x+22)-(72x+53)^2]*y^(-5)
=(2/9)(-1296x^2-1908x+2376-2809)*y^(-5)
=(-2/9)(1296x^2+1908x+433)*y^(-5)
对于g(x)=36x^2+53x+22
判别式△=2809-3168=-359<0;
则g(x)在定义上为正数，即y^(-5)>0。
令y"=0,则：1296x^2+1908x+433=0
x1,2=(-53±1√4541)/72,此时：x1≈-1.67；x2≈0.19。
1)x∈(0.19,+∞)时，y"<0,此时曲线为凸曲线。
2)x∈[-1.67,0.19]时，y">0,此时曲线为凹曲线。
3)x∈(-∞,-1.67)时，y"<0,此时曲线为凸曲线。
- ※.曲线的极限
Lim(x→-∞)y=lim(x→-∞) (36x^2+53x+22)^(-1/3)=+∞,
Lim(x→+∞)y=lim(x→+∞) (36x^2+53x+22)^(-1/3)=+∞。
