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文|娱秘探

编辑|娱秘探

前言

衍射光学元件(DOE)具有特殊的色散特性和温度特性，这是传统光学所难以实现的， 自出现以来，它一直是光学领域的一个热门研究方向。

DOE对简化系统结构、减小系统体积、减轻系统重量具有重要意义，为光学领域开辟了新的视野。

本文基于光波的标量衍射理论，讨论了从多级位相光栅演变成单层DOE的过程，详细分析了不同类型DOE的衍射效率。

衍射光学的理论基础

标量衍射理论和矢量衍射理论，构成了衍射光学的分析理论。

在矢量场的情况下，按照麦克斯韦方程组公式推导和求解光波场的分布为矢量衍射理论，矢量衍射理论的近似和简化就成了标量衍射理论。

基尔霍夫衍射积分理论是标量衍射理论中应用最为广泛的， P为波前任意一点，表达式为：

各参量的关系，如下图所示。

用菲涅尔近似表示光波场的传播， 菲涅尔近似表示为：

其中初始光场由U(x0,y0)表示，传播距离由z表示，初始光场传播z距离后的新光场用U(x,y)表示。

公式中省略了对光场分布影响不大的乘法因子，忽略二次项， 当光场传播较远时，上式变成：

标量衍射理论的分析是否准确，基于以下两个条件：衍射微结构尺寸是否远大于入射波长，是否在远场进行考察。

其准确性可以用标量衍射理论设计DOE后，用参量Q评价， 当Q1时，衍射效率计算确切，表达式为：

成像光学系统中，DOE一般用于系统像差的校正，几乎不分配光焦度，采用标量衍射理论对DOE进行分析，若与矢量衍射理论得到的结果相互接近，可以说标量衍射理论是可靠的。

根据对光波的作用，光栅分为振幅型和位相型，DOE属于位相型周期光栅。多级位相光栅的衍射效率高于二元光栅，台阶的阶数越大， 其衍射效率就越高，可用于成像光学系统。

多级位相光栅透过率函数为：

多级位相光栅相邻子周期，以一定的角度入射， 其基底材料折射率为n（λ），入射介质折射率为nm(λ)，∆为每一级的高度。

上图中有如下几何关系：

结合斯涅耳定律，将式代入，可以得到：

当光线为正入射时， 上式变为：

设衍射级次m=1，最大衍射效率在设计波长λ0处取得，则子周期的位相高度为：

由于在空气介质中nm（λ）=1， 可得：

由此得到，N级位相光栅的衍射效率表达式为：

单层衍射光学元件的衍射效率分析

当多级位相光栅的位相级次逐渐增大，就形成了单层DOE，如下图所示。

单层DOE的 衍射效率表达式为：

当N→∞时，由上式推出单层DOE的微结构高度最大值H为：

得到单层DOE的 位相延迟为：

介质为空气，得到单层DOE衍射效率斜入射时的表达式为：

由两个因子相加可以得到折衍射混合系统的光瞳函数， 主衍射级次的衍射光(m=1)为第一个因子，非一级光的和为第二个因子，即：

其中，t(x,y)为振幅分布，光瞳(x,y)处的主级次衍射光的衍射效率：

主级次衍射的光，其衍射效率的光瞳平均值， 即积分衍射效率为:

可知，光线从空气正入射于DOE上时的位相延迟为：

主衍射级次为m=1时， 多色光衍射效率近似为：

当设计波长已知时，DOE的多色光积分衍射效率的精确值可由式得出， 衍射效率影响了光学系统的MTF，也就是受设计波长的影响。

衍射光学元件的成像光学系统模型

将成像光学系统中DOE的光学功能简化为无厚度的位相调制器，且仅为位相分布， 目前，DOE设计中的参数变量主要来自位相分布函数。

位相分布函数描述了元件的衍射面结构，DOE的相位分布特性受到设计要求的限制，因此，DOE设计也就是找到了最佳的位相分布函数。

在轴对称成像光学系统中，DOE不必进行二维设计，可以将其转化为一维设计，这个转化的过程使计算量大大减小，使得设计的效率得到了提高。

由于光学系统中色差的存在，传统光学系统通常用双胶合透镜或是增加透镜数量来进行色差的消除，而DOE是利用材料的色散性能。

为了满足消色差条件，计算每个透镜需要承担多大的光焦度， DOE的位相函数可以表示为：

在上述公式中，x和y分别代表DOE的横坐标和纵坐标，轴对称结构的DOE，其位相分布函数为：

其中DOE的位相系数用A1，A2，A3表示， r、A1分别表示径向坐标和用于校正色差的光焦度项， A2用来校正三级像差，A3、A4等用来校正高级像差，薄透镜的光焦度为：

其中f、n、R1、R2分别为光学系统的焦距、以及薄透镜前后表面的曲率半径。

在傍轴近似的条件下， 薄透镜的位相变换为：

式为薄透镜的复透过率函数，可以得到DOE的光焦度为：

式中A1和m分别为位相系数和衍射级次， 可知DOE的光焦度和波长成正比。

VD和PFD分别表示光学材料的阿贝数和相对部分色散，可以表示为：

式中nD、nF、nc分别表示在D、F、C光谱线处的折射率， DOE色差校正过程的原理如下图所示。

DOE的色散性质能够以等效阿贝数VDOE和等效相对部分色散PDOEFD表示，其表达式为：

DOE色散性质的唯一影响因素是工作波段，与材料无关，DOE的阿贝数为负， 可与折射元件相互补偿，用来校正色差和二级光谱， DOE的特殊色散降低了消色差的难度。

而消色差只需一个折衍射混合透镜，这种消色差结构使DOE承担了光焦度的一部分，减少了折射元件的负担，有利于色差的校正，负色散特性和部分色散特性是DOE的特殊色散特性。

为了实现消色差和复消色差的效果，可选用DOE与普通光学透镜的组合， 二级光谱的校正也可以通过两个折射元件与DOE的组合来实现。

多层衍射光学元件的衍射效率分析

当工作波长与设计波长不一致时，单层DOE的衍射效率降低的速度很快，MLDOEs就很好的解决了这个问题，多种周期相同的谐衍射光学元件（HDOE）组成了MLDOEs。

但它们的微结构高度不同，其中MLDOEs的基底选用了不同折射率的材料，其结构类型如下图所示的三种，包括分离型、密接型和密接外长型。

根据标量衍射理论，MLDOEs从组成结构上来说，可以看作由多个单层DOE组合而成。

最常见的是分离型MLDOEs，与单层DOE的衍射效率公式相似， 其微结构斜入射光路如下图所示。

两条平行的入射光，它们有相同的入射角θ1，分别倾斜入射于MLDOEs的两个相邻子周期，对应的位相差为：

其中，n1（λ）、n2（λ）和nm（λ）是两基底材料和中间介质关于波长λ的折射率值， y1、y2、y3和y4是两个HDOE表面两侧光线的传播距离。

具有多级位相结构的MLDOEs，当N→∞时，台阶结构逐渐消失转变为连续面型，得到连续面型MLDOEs：

式中，H1和H2是两个不同基底材料不同的MLDOEs的微结构高度， 由式子推导出MLDOEs的第m级衍射效率为：

当入射角度θ1=0，则：

nm(λ)=1时，为MLDOEs， nm(λ)不为1时，为三层DOE。

对于层数更多的DOE，其位相延迟的表达式为：

式中，Hj表示第j层HDOE的表面微结构高度，njt(λ)表示第j层DOE的入射基底材料和出射基底材料的折射率， θji（λ）,θjt（λ）表示第j层DOE的入射角和出射角。

由上式可知，光线斜入射时，MLDOEs的位相延迟表达式为：

式中，n0t=n1i， MLDOEs斜入射时第m衍射级次的衍射效率为：

由上式可以得出，MLDOEs的第m衍射级次的多色光积分衍射效率为：

衍射角的偏折使从第一层DOE基底材料入射的光并不能按照入射光的方向出射，由于光达到第二层DOE基底材料时被第一层DOE挡住了，这种现象叫做遮挡效应。

MLDOEs的衍射效率损失大部分来源于遮挡， 这与单层DOE是不同的，总之衍射角的增大会导致波前的不连续，给第二层DOE带来的遮挡也是不可避免的。

基于遮挡效应，对于被遮挡的部分，MLDOEs的周期宽度和微结构高度是已知的，就可以计算出参与透射光的周期宽度以及微结构高度。

用这种方法使衍射效率分析结果更加准确， 这种方法叫做有效面积法（EAM），H1和H2为两层DOE的微结构高度，n1和n2为两层DOE基底材料的折射率。

两层DOE间的距离为D，T为MLDOEs的周期宽度，α1和α2为两层DOE对应的闪耀角度。

光束离开第一层DOE时的衍射角可由光栅方程sinθ1=mλ/T算出，当折射角等于衍射角时，衍射效率在该衍射级次上得到最大值，衍射角由折射定律得：

通过几何运算，遮挡周期宽度，微结构高度和衍射角之间的关系为：

根据上述两公式，可以计算出遮挡周期宽度：

参与透射光的结构高度为：

其中tanα1=H1/T和tanα2=H2/T， 光通过MLDOEs的位相延迟为：

EAM计算的MLDOE第m个衍射级次的衍射效率可以表示为微结构高度，工作波长和周期宽度的函数。

MLDOEs的级次通常为1， 因此上述公式可表示为：

工作波段确定后，MLDOEs的积分衍射效率为：

在位相突变处存在残余量是由于遮挡效应引起的，入射到遮挡部分的光，其能量进入了非设计级次，在像面上形成杂散光，DOE的透过率也随之降低。

笔者观点

笔者认为，通过光波的标量衍射理论， 对DOE的研究为光学领域提供了新的可能性， 不仅拓展了系统设计的灵活性，还为光学器件的性能提升提供了有力工具。

随着技术的进一步发展，DOE在光学系统中的应用前景将会不断扩展，它不仅可以推动现有光学设备的进化，还有望催生全新的光学应用和解决方案。

在这个充满挑战和机遇的时代，持续深入研究和探索DOE的特性和应用，将为光学领域的创新发展带来更多的可能性。

参考文献

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