黄继荣 陈木 杜云威 马牛静 王荣辉

广州市中心区交通项目管理中心 华南理工大学土木与交通学院

摘 要： 针对工程中广泛应用的索-梁结构，研究应力波在结构体系中的传播规律；采用实验的方法对吊索上端构件的截面直径、梁-索夹角等参数对应力波在主梁-吊索-梁结构吊索锚固端结头处传播规律的影响进行分析。首先对梁-吊索结头处应力波传播规律进行了理论分析，然后对主梁-吊索-梁结构进行了实验研究，介绍了实验系统及步骤，实验系统主要包括构件、激励及测试三个部分，通过对不同梁截面尺寸及梁-索夹角参数下吊索轴力时程曲线等实验结果进行分析，并讨论了梁截面尺寸等参数对各构件内力的影响。

关键词： 应力波;索-梁结构;传播规律;激励;

作者简介： 黄继荣（1975—），男，高级工程师，研究方向为道桥工程建设与管理。;

0 引言

索-梁结构在土木工程领域广泛应用。例如桥梁工程中的悬索桥、斜拉桥以及拱桥等大跨度桥梁。对于梁-索结构的连接处，其是全桥最薄弱的位置，也是应力分布最复杂的位置之一。1872年J.Hopkinson[1]做了关于索受到重物冲击的经典实验，如图1所示，实验的结果是索受到重物冲击后，被拉断的位置在固定端B处，而不是冲击端A处。

图1 实验模型 *载下**原图

20世纪70年代，Lee J P和Kolsky H[2]对两根不共线弹性梁的连接处应力波传播进行了研究，入射波在两梁连接处产生四种波型：反射纵波及弯曲波、透射纵波及弯曲波，纵波的传播采用一维理论进行描述，弯曲波的传播则采用Timoshenko梁理论进行描述。

1981年Desmond T P[3]对三根梁组成的杆系结构受到冲击荷载时的结构动力响应进行了研究。杆系结构是由三根直梁组成的，其中两根梁处于一条直线。结头假设成刚体，根据结头处的位移协调性和内力平衡性建立控制方程，用特征线法进行近似求解，并用实验来验证理论解的精确性。

20世纪80年代，Doyle J F[4,5,6]也对三根梁组成的杆系结构受到轴向冲击荷载时的结构动力响应进行了理论和实验研究，他所研究的对象是三根不在同一直线上的杆系结构，并对三根梁之间的夹角进行了参数分析。不同之处在于控制方程的求解方法，他利用快速傅里叶转换（FFT)[7]将入射波型从时域转换至频域，代入控制方程后求解出反射波形及透射波形，再利用傅里叶逆变换将反射波形和透射波形从频域转换至时域。

2001年，吴斌、韩强和李忱在他们的著作《结构中的应力波》[8]中对单梁、两根梁及三根梁组成的平面或空间结构受轴向冲击荷载的弹性应力波传播问题进行了研究。

本文在总结相关国内和国外关于应力波在结构中传播规律研究的基础上，结合工程实际所遇到的问题，开展梁-索结构冲击实验，揭示了不同梁索夹角时吊索冲击端和锚固端应变的变化规律，实验分析结果可为理论计算提供数据支持，也可为验证理论可行性提供依据。

1 控制方程

图2所示为主梁-吊索-梁结构中应力波传播的力学模型。

图2 主梁-吊索-梁结构中应力波传播示意图 *载下**原图

主梁-吊索结头（结头1）以及吊索-梁结头（结头2）处应力波分配的控制方程过于繁杂，不在此赘述，具体推导思路是：假定入射波只有纵波这一种情况进行分析，且入射波取一组简谐波。同时，基于位移协调性和内力平衡性建立结头处应力波传播规律的控制方程。利用Timoshenko梁中弯曲波和纵波、索中纵波和横波的波动方程来假设入射波、反射波和透射波的质点位移函数，代入控制方程后得到由反射系数和透射系数组成的影响矩阵，通过影响矩阵可以较方便地分析应力波在结头处的反射及透射规律。

对吊索-梁接头处应力波的分配进行了计算，其写成矩阵形式见式（1):

式（1）中：[B]T为初始波在吊索-梁结头处反射波及透射波的振幅；[N]-1为吊索-梁结头处的反射及透射的影响矩阵；[Q]T为入射波形系数。

值得注意的是，理论中吊索-梁结头处的入射波只考虑吊索中的纵波，而忽略横波，主要原因是吊索中纵波和横波的波速不同，吊索的纵波波速公式见式（2）。

式（2）中：E0为吊索的弹模；ρ0为吊索密度。

吊索中横波波速与吊索张拉力和线密度有关，在本文实验中，吊索张拉力通过主梁自重来实现，即T=m主梁g=192.6N，吊索线密度ρ`为0.012kg/m，则横波波速见公式（3）。

由此可见，当吊索冲击端即主梁-吊索结头处产生透射纵波和横波时，纵波会快速到达吊索-梁结头处，在实验中，吊索冲击端与锚固端的传感器的距离约为92cm，则纵波大概需要1.8×10-4s的时间从冲击端到达锚固端，而横波则需要7.8×10-3s的时间，所以在横波抵达锚固端前，纵波已完成反射。

2 实验系统和步骤

2.1 实验构件

本文实验系统主要包括实验构件、激励系统、测试分析系统三个组成部分。基于主梁-吊索-梁结构应力波传播规律及上部结构抗弯刚度对吊索内力影响研究的目的。主梁-吊索-梁结构应力波传播规律实验研究整体布置图如图3所示：

吊索上端通过卡扣与梁连接，下端的吊索则穿过螺栓中的孔与主梁连接，见图4。

图3 实验研究整体布置图 *载下**原图

图4 吊索上端及下端连接示意图 *载下**原图

主梁选择截面尺寸为30mm×30mm的方形钢梁，吊索上部梁结构选择圆钢，如图4(a）所示。主梁的两端通过反力架下横梁上焊接的钢板连接在下横梁上，并以此来保持稳定性。

结构中梁的基本参数如表1所示。吊索的基本参数如表2所示

表1 吊索上部梁结构的基本参数 *载下**原图

表2 吊索的基本参数 *载下**原图

2.2 激励系统

本实验采用的外部激励荷载是由重物自由落体对主梁进行撞击产生。重物采用约1.8kg的钢球，自由落体的高度约为50cm。

2.3 测试分析系统

实验中需要测量的量主要为吊索两端的轴向应变时程曲线。本实验采用SDY2017A超动态应变仪及USB-14047数据采集器组成的应变测试系统，如图5所示：

吊索的振动响应：在距离吊索的锚固端和冲击端约4cm处安装传感器，通过半桥的连接方式与超动态应变仪及数据采集器相连，并采用Datalab分析软件在计算机上记录和分析振动响应数据。实验测试得到的是应变时程曲线，对其进行数值积分处理，可以得到内力响应。另外，实验获得的是一系列的数据点，所以要对数据进行拟合处理，从而形成曲线。吊索冲击端和锚固端的传感器如图4(b）所示。

图5 实验采集及分析系统 *载下**原图

2.4 实验步骤

实验原理：重物经自由落体作用在主梁上，结构的响应由传感器接入SDY2017A超动态应变仪及USB-14047数据采集器，并在计算机上由相应的软件进行分析。

实验步骤：依据上述实验原理，实验步骤如下所示：

(1）将梁、吊索及主梁安装完成，并连接上传感器和测试系统，对实验设备进行初步检测，查看实验仪器能否正常工作及运行稳定；

(2）将梁-索夹角设置为π/2，主梁尺寸为30mm×30mm，吊索截面尺寸为1.5mm，进行主梁-吊索-梁结构中应力波传播规律实验研究，以检验实验的可操作性；

(3）按照实验设计要求，针对梁-索夹角α、上部梁结构截面直径R进行几组对比实验，并记录相关实验数据，具体实验按表3中的参数进行分组。

表3 实验模型组合表 *载下**原图

表3中每一行的组合可以作为一组对比实验，用来研究梁-索夹角对结构中应力波分配的影响；每一列的组合可以作为一组对比实验，用来研究上部梁结构截面直径R对结构中应力波分配的影响。

(4）对实验数据进行处理，并进行分析。

3 应力波传播规律实验研究

本实验主要针对吊索上端构件的截面直径、梁-索夹角等参数对应力波在主梁-吊索-梁结构吊索锚固端结头处中传播规律的影响进行分析。

实际斜拉桥结构中，斜拉索短索和长索与主梁或主塔之间的夹角是不同的，拱桥结构中，吊索与拱肋的夹角随着拱肋曲率的变化而发生变化。同时，本课题组既有研究发现梁-索夹角对结构中应力波的传递有重要的影响。

本次实验各构件尺寸选用表3中组合1、组合2、组合3对梁截面直径为2.0cm的情况进行分析，主梁截面尺寸为30mm×30mm，吊索直径为2mm。梁-索夹角的变化通过调节吊索与梁之间卡扣位置的不同来实现，卡扣位置距离梁中间分别为0m、0.3m和0.6m，则梁-索夹角分别为π/2、α1=arctan(8.9/3）、α2=arctan(8.9/6）。

图6给出了组合1和组合2时，吊索冲击端及锚固端应变时程曲线的实验结果。

图6 吊索直径R=2cm时锚固端及冲击端应变时程曲线的实验结果 *载下**原图

从图6(a）中发现吊索冲击端和锚固端应变时程曲线可以发现入射波第一个波峰在50μs左右抵达吊索冲击端，在192μs左右抵达吊索锚固端，形成反射波的第一个波峰。实验中，吊索两端传感器距离80cm左右，纵波在吊索中的理论传播速度为5 139m/s，所以纵波由吊索冲击端传播至锚固端所需的时间的理论值为155μs，在组合1到组合3的系列实验测得纵波传播所需时间在100～145μs之间。

虽然有实验误差的存在，但是仍可以对实验数据进行讨论，原因主要有两点：（1）实验误差会对采集数据的绝对值产生影响，但是吊索两端应变的相对值则不会受到实验误差的影响，通过相对值也能准确说明梁-索夹角的影响；（2）本文选取各冲击端应变时程曲线的第一个波峰作为入射波进行讨论，这样既可以忽略纵波在吊索中的相互作用，也可以减小实验误差的影响。

图6给出了各组合工况下吊索两端应变时程曲线的实验结果，选取冲击端应变时程曲线的第一个波峰作为理论分析的入射波，如图7所示，各入射波持续时间都在20μs以内，而入射波由冲击端传播至锚固端所需时间的理论值为155μs左右，所以入射波通过冲击端时不会受到锚固端反射波的影响，有利于理论计算。

图7 R=20mm各角度的入射 *载下**原图

各组合的实验中，采样频率为5MHz，采集n个数据点，n的取值如表4所示，所以该入射波形可由n/2+1个余弦波和n/2+1个正弦波线性叠加得到。经整理，各组合的实验结果如表4所示。

表4 各组合实验结果统计表 *载下**原图

通过对吊索冲击端及锚固端应变时程曲线的实验结果发现以下几点规律：

(1）对比组合1、2、3的入射波幅值可以发现，当梁截面直径R一定时，梁-索夹角由π/2变化为α1和α2时，入射波幅值逐渐减小，说明随着梁-索夹角的减小，冲击荷载在主梁中产生的入射脉冲经过吊索-主梁结头时，在吊索中产生的透射波逐渐减少。

(2）对比组合1、2、3的反射波与入射波幅值之比可以发现，当梁截面直径R一定而梁-索夹角由π/2变化为α1和α2时，反射波与入射波幅值之比逐渐增大。

4 结论

本文通过吊索-梁结头处应力波传播规律的实验研究，来探讨索-梁结构应力波传递规律。可以得出以下结论：

(1）当梁截面直径一定时，梁-索夹角逐渐减小时，入射波幅值逐渐减小，说明随着梁-索夹角的减小，冲击荷载在主梁中产生的入射波经过吊索-主梁结头时，在吊索中产生的透射波逐渐减少。吊索上端的反射波与入射波幅值之比逐渐增大。

(2）当梁-索夹角一定时，梁截面直径逐渐减小时，反射波与入射波幅值之比逐渐减小。

(3）通过对梁截面直径R和梁索夹角参数的讨论可知，吊索上部结构的抗弯刚度对吊索两端局部位置受力的影响较大。

(4）通过本文的实验，可以对不同桥梁结构的受力特性有进一步的了解，如，悬索桥结构的跨中位置，吊索与悬索夹角在π/2左右，仅考虑在冲击荷载作用且忽略悬索抗弯刚度时，吊索上端的瞬时轴力为零（不考虑吊索的成桥索力），而对于靠近主塔的长吊索来说，由于吊索与悬索的夹角最小，则悬索的抗拉刚度对吊索内力的影响最大，所以从应力波理论的角度来看，若悬索桥中各位置的吊索受到冲击荷载相同，那么靠近主塔的长吊索受力最不利。在斜拉桥结构中，主塔的抗弯刚度较大，仅考虑在冲击荷载作用下，斜拉索上端的瞬时应力可以达到下端瞬时应力的两倍左右，而应力波在斜拉索中的相互作用也会受到主梁抗弯刚度影响，所以应力波在斜拉索中达到平衡时的状态则取决于主梁的截面特性。

参考文献

[1] Hopkinson J. On the rupture of iron wire by a blow[C]//Proceedings of the Literary and Philosophical Society of Manchester, 1872(11):40-45.

[2] Lee J P, Kolsky H. The Generation of Stress Pulses at the Junction of Two Noncollinear Rods[J]. Journal of Applied Mechanics,1971(3):809-813.

[3] Desmond T P. Theoretical and Experimental Investigation of Stress Waves at a Junction of Three Bars[J].Journal of Applied Mechanics, 1981(1):148-154.

[4] Doyle J F, Kamle S. An Experimental Study of the Reflection and Transmission of Flexural Waves at Discontinuities[J]. Journal of Applied Mechanics, 1985(52):669-673.

[5] Doyle J F. Further Developments in Determining the Dynamic Contact Law[J]. Experimental Mechanics,1984(4):265-270.

[6] Doyle J F. An Experimental Study of the Reflection and Transmission of Flexural Waves at an Arbitrary T-Joint[J]. Journal of Applied Mechanics,1987(54):136-140.

[7] Dimitris G. Manolakis. Applied Digital Signal Processing Theory and Practice[M]. Publishing House of Electronics Industry,2018.

[8] 吴斌，韩强，李忱.结构中应力波[M].北京：科学出版社，2001.

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