染色问题是数奥解题中的难点，小学奥数就接触过，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。
【问题提出】如图1，在四个相邻区域A，B，C，D中，给每一区域染色，每一个区域中染同一种颜色，但相邻的区域颜色不能相同，一共有4种颜色，如果颜色可以反复使用，请问有几种不同的染色方法？
【问题解决】可以这样计算：
染色共有三种方案
方案（一）用四种颜色即：A、B、C、D四个区域颜色各不相同
第一步给区域A染色时，有4种颜色可以选择；
第二步给区域B染色时，还剩3种颜色可以选择；
第三步给区域C染色时，还剩2种颜色可以选择；
第四步给区域D染色时，仅剩1种颜色选择．
*所以四个区域颜色都不相同时一共有：4×3×2×1＝24种染法；
方案（二）用三种颜色 即：A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其它区域各不相同
（1）仅有A，C区域颜色相同
第一步给区域A、C染色时，有4种颜色可以选择；
第二步给区域B染色时，还剩3种颜色可以选择；
第三步给区域D染色时，还剩2种颜色可以选择．
所以A、C区域颜色相同时一共有：4×3×2＝24种染法；
（2）仅有B、D区域颜色相同
第一步给区域B、D染色时，有4种颜色可以选择；
第二步给区域A染色时，还剩3种颜色可以选择；
第三步给区域C染色时，还剩2种颜色选择．
所以B、D区域颜色相同时一共有：4×3×2＝24种染法；
即A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其他区域各不相同时共有24+24＝48种染法．
方案（三）用两种颜色 即：A、C区域染色相同，B、D区域颜色相同
第一步给区域A、C染色时，有4种颜色可以选择；
第二步给区域B、D染色时，还剩3种颜色可以选择．
所以B、D区域颜色相同时一共有：4×3＝12种染法；
**综上所述：三种方案共有24+48+12＝84（种），所以共有84种不同的染色方法．
【问题拓展1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色染在"田"字形的四个小方格内（图2），每格染一种颜色，相邻的两格染不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的染色方法？
【问题解决1】可以这样计算：（写出分类、计算等必要的过程即可）
【问题拓展2】用m（m≥4）种颜色染在"田"字形的四个小方格内（图2），每格染一种颜色，相邻的两格染不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的染色方案？
【问题解决2】直接写出共有_____种不同方法（不需化简）
【问题拓展3】要用4种颜色给四川、青藏、*藏西**、云南四省的地图染色（图3）每一省份用一种颜色，要求相邻的省份不同色，如果颜色可以反复使用，则不同的染色方法有____ 种．
【解答】【问题拓展1】
方案（一）用四种颜色即：A、B、C、D四个区域颜色各不相同
第一步给区域A染色时，有5种颜色可以选择；
第二步给区域B染色时，还剩4种颜色可以选择；
第三步给区域C染色时，还剩3种颜色可以选择；
第四步给区域D染色时，仅剩2种颜色选择．
所以四个区域颜色都不相同时一共有：5×4×3×2＝120种染法；
方案（二）用三种颜色 即：A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其它区域各不相同
（1）仅有A，C区域颜色相同
第一步给区域A、C染色时，有5种颜色可以选择；
第二步给区域B染色时，还剩4种颜色可以选择；
第三步给区域D染色时，还剩3种颜色可以选择．
所以A、C区域颜色相同时一共有：5×4×3＝60种染法；
（2）仅有B、D区域颜色相同
第一步给区域B、D染色时，有5种颜色可以选择；
第二步给区域A染色时，还剩4种颜色可以选择；
第三步给区域C染色时，还剩3种颜色选择．
所以B、D区域颜色相同时一共有：5×4×3＝60种染法；
即A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其他区域各不相同时共有60+60＝120种染法．
方案（三）用两种颜色 即：A、C区域染色相同，B、D区域颜色相同
第一步给区域A、C染色时，有5种颜色可以选择；
第二步给区域B、D染色时，还剩4种颜色可以选择．
所以B、D区域颜色相同时一共有：5×4＝20种染法；
综上所述：三种方案共有120+120+20＝260（种），所以共有260种不同的染色方法．
【问题拓展2】
染色共有三种方案
方案（一）用四种颜色即：A、B、C、D四个区域颜色各不相同
第一步给区域A染色时，有m种颜色可以选择；
第二步给区域B染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择；
第三步给区域C染色时，还剩（m﹣2）种颜色可以选择；
第四步给区域D染色时，仅剩（m﹣3）种颜色选择．
所以四个区域颜色都不相同时一共有：m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）种染法；
方案（二）用三种颜色 即：A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其它区域各不相同
（1）仅有A，C区域颜色相同
第一步给区域A、C染色时，有m种颜色可以选择；
第二步给区域B染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择；
第三步给区域D染色时，还剩（m﹣2）种颜色可以选择．
所以A、C区域颜色相同时一共有：m（m﹣1）（m﹣2）种染法；
（2）仅有B、D区域颜色相同
第一步给区域B、D染色时，有m种颜色可以选择；
第二步给区域A染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择；
第三步给区域C染色时，还剩（m﹣2）种颜色选择．
所以B、D区域颜色相同时一共有：m（m﹣1）（m﹣2）种染法；
即A、C区域颜色相同或B、D区域颜色相同，其他区域各不相同时共有m（m﹣1）（m﹣2）+m（m﹣1）（m﹣2）＝2m（m﹣1）（m﹣2）种染法．
方案（三）用两种颜色 即：A、C区域染色相同，B、D区域颜色相同
第一步给区域A、C染色时，有m种颜色可以选择；
第二步给区域B、D染色时，还剩（m﹣1）种颜色可以选择．
所以B、D区域颜色相同时一共有：m（m﹣1）种染法；
综上所述：三种方案共有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）+2m（m﹣1）（m﹣2）+m（m﹣1）＝m（m﹣1）[（m²﹣5m+6）+（2m﹣4）+1]＝m（m﹣1）（m²﹣3m+3）（种），
所以共有m（m﹣1）（m²﹣3m+3）种不同的染色方法．
故答案为：m（m﹣1）（m²﹣3m+3）；
【问题拓展3】
第一步，给四川染色时，有4种颜色可以选择；
第二步，给青海染色时，有3种颜色可以选择；
第三步，给*藏西**染色时，有2种颜色可以选择；
第四步，给云南染色时，有2种颜色可以选择；
所以，一共有4×3×2×2＝48种，
故答案为48．
上述问题的完成，我们最应该认识一下生活中我们经常用到两种统计原理：
（1）完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法，这就是分步计数原理．
（2）完成一件事共有两类方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m+n种不同的方法，这是分类计数原理；
变式：
小试牛刀：完成下列填空：
（1）从5位同学中产生1名组长，1名副组长有 _____种不同的选法．
（2）如图，一条电路在从A处到B处接通时，可以有______ 条不同的路线．
（3）用数字0、1、2、3、4、5组成 ________个没有重复数字的六位奇数．
（4）一种汽车牌照由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，则不同牌照号码的个数是 __________．
【分析】（1）先得出产生1名组长有5种选法，再选1名副组长有4种选法，再由乘法原理求解即可，
（2）由图象可知，共有8种不同的路线，
（3）个位有3中选法，最高位有4中选法，共有4×4×3×2×1×3＝288，分别求出四位数的最高位及其余各位数的选法，利用乘法原理即可求出答案，
（4）先求出前面两个英文字母组合的种数，再求出后面从0到9有10个数任取两个的组合数，再由乘法原理求解即可．
【解答】（1）产生1名组长有5种选法，再选1名副组长有4种选法，
按乘法原理，所求选法为5×4＝20种；
（2）由图象可知共有8条不同的路线；
（3）∵当六位数为奇数时，个位数字为1，3，5有3种选法，由于数不重复，最高位不能为0，故最高位有5种选法，
根据乘法原理，故没有重复数字的六位奇数有3×4×2×3×4＝288个；
（4）∵有26个英文字母，∴前面两个英文字母共用26×25种组合，
∵从0到9有10个数，∴共有10×10×10×10＝10000种组合，
∴按乘法原理，所求个数为26×25×10×10×10×10＝6500000．
故答案为：20，8，288，6500000．
总之，染色问题也有路可循，分清了问题中的第一特殊区域，以及依次的各个区域问题就迎刃而解了。其中最关键的部分是找特殊区域，不要找错了.