文|卑微的小书丁
编辑|卑微的小书丁
碰撞过程对于磁化等离子体的传输至关重要，本文回顾了三种典型的推导弱耦合均匀磁化等离子体动力学方程的方法，即福克-普朗克（FP）方法、博戈柳博夫-博恩-格林-科伍德-伊冯（BBGKY）方法和拟线性（QL）方法，基于这三种方法导出的碰撞项被证明是相同的并且满足守恒定律和H定理。
相对而言，BBGKY和QL方法更系统，更容易从弱磁化等离子体推广到强磁化等离子体，FP 方法对于弱磁化等离子体来说非常简单，并且具有以下优点：基于该方法导出的碰撞项可以自然地分为两部分，一部分由极化产生，另一部分由波动静电场的相关性产生。
描述粒子分布函数演化的动力学方程是等离子体物理学的核心，其中碰撞项起着非常重要的作用，它不仅可以作为等离子体动力学描述的起点，而且可以作为推导等离子体流体描述的流体方程的基础。
因此，动力学方程是研究和理解各种等离子体过程的基础，包括波、不稳定性、传输等，因此，尽可能准确地推导动力学方程是等离子体物理学中的一个长期课题。
第一个动力学方程是由 Boltzmann使用具有短程相互作用的分子气体的二元碰撞 (BC) 模型建立的，玻尔兹曼碰撞项为分离良好的 BC 提供了有效的描述，当应用于通过长程库仑力相互作用的带电粒子时，当冲击参数时，它会呈对数发散，因此会发生故障。
这种发散是由于集体相互作用的省略，因为许多粒子同时相互作用，碰撞b大于平均粒子间间距，并且可以通过在德拜长度b→∞b→∞\lambda _DλDλD考虑德拜筛选，对于具有的弱耦合等离子体，其中是库仑耦合参数，定义为带电粒子之间的平均相互作用库仑势能与平均粒子动能之比，与 b 大于朗道长度，远距离碰撞产生的弱偏转起主导作用。
Γ≪1Γ≪1ΓΓ\lambda _LλLλLλLλL对应于库仑相互作用能达到平均粒子动能量级的粒子间距。通过将玻尔兹曼碰撞项扩展为 BC 中速度变化的幂并将项保留到二阶，可以导出朗道碰撞项，除了发散为之外，朗道碰撞项还以对数发散为，这种发散是由于 BC 过程中未受扰动的直线粒子轨迹近似造成的，并且可以通过在处为冲击参数引入较低的截止值来消除。
看来，玻尔兹曼和朗道碰撞项中出现的发散问题可以通过引入适当的冲击参数截断来解决，上行进期间经历许多远距离碰撞，λmfp∼Γ−3/2λDλmfp∼Γ−3/2λD
同时对于弱耦合等离子体，推导动力学方程有三种典型方法：Fokker-Planck 方法、Bogoliubov-Born-Green-Kirwood-Yvon 方法和拟线性方法，FP 方程最初是为了描述布朗运动，它非常适合处理相互作用非常频繁但大多数相互作用相当弱的物理过程。
这正是弱耦合等离子体中碰撞的主要特征。FP方法的关键点是计算FP系数，在BC模型中，通常仅保留和计算对数精度内的一阶和二阶FP系数，分别称为动摩擦系数和扩散系数，当中等耦合等离子体需要更高的精度时，还需要保持更高阶的 FP 系数。
由于没有考虑集体相互作用，自然的上限为λDλD来消除 BC 模型中的分歧，这个困难可以通过基于波动理论计算FP系数来克服，在波动理论中，可以首先结合静电近似中的线性化Vlasov方程和Poisson方程来评估脉动电场，然后用于计算FP系数。
这样，集体相互作用就得到了适当的考虑，使得没有必要人为地引入与碰撞的截止，紧密碰撞在波动理论中没有得到适当的处理，因此，必须引入波数k在处的上限截止以抑制FP系数的发散 ，对BC理论和波动理论进行了令人满意的综合，其中以适当的方式考虑了集体相互作用和近距离碰撞的贡献。
在这样的理论中，不需要引入人为的截止，与 FP 方法相比，BBGKY 方法是一种更系统的动力学方程推导方法，它的起点是 BBGKY 层次结构的前两个方程，分别用于单粒子和双粒子分布函数的演化，使用 Mayer 簇展开并忽略三粒子相关性，可以将这两个方程制成闭集。
在这种情况下，碰撞项由两粒子相关函数确定，原则上，BBGKY方法可以同时考虑集体相互作用和近距离碰撞的贡献，然而，在这种情况下，两粒子相关函数的演化方程变得相当复杂，通常假设两粒子相关函数与相应的两个单粒子分布函数的乘积相比较小，这对于近距离碰撞是站不住脚的。
在此假设下，利用 Bogoliubov 的绝热假设，即双粒子相关函数比单粒子分布函数松弛得快得多，可以解析求解双粒子相关函数，然后，可以获得通常称为Balescu-Lenard-Guernsey碰撞项的碰撞项，BLG 碰撞项考虑了集体相互作用，因此没有显示出与对应的散度。
然而，由于没有正确处理近距离碰撞，它发散为与相对应的，因此，波数的上限为k→0k→0b→∞b→∞k→∞k→∞b→0b→0kmax=1/λLkmax=1/λL一般在BLG碰撞项中引入。
QL 方法是另一种系统化但比 BBGKY 方法简单得多的推导动力学方程的方法，通过对 Klimontovich 方程进行统计平均，可以得到动力学方程，其中碰撞项表示为静电近似中电场与分布函数涨落乘积的统计平均速度的散度，在极化近似中，结合线性化Vlasov方程和Poisson方程作为计算FP系数的波动理论，可以确定电场和分布函数涨落。
这样，集体相互作用被自动包含在内，但近距离碰撞没有得到适当的处理，因为克里蒙托维奇方程的波动部分忽略了涉及电场和分布函数波动的乘积的非线性项，因此，必须引入与小冲击参数对应的大波数处的截止以消除发散。
上述三种方法在推导等离子体的 BLG 碰撞项时是等效的，并且也可推广到不同空间维度中具有幂律势的系统，相对而言，FP 方法相当简单，而 BBGKY 和 QL 方法则更加系统化，当忽略集体效应时，BLG 碰撞项减少为 Landau 碰撞项。
上述碰撞项没有考虑磁场效应，因此仅适用于未磁化等离子体和弱磁化等离子体，其中所有等离子体物质的回转周期都比碰撞过程的持续时间长得多，对于存在回转周期短于碰撞持续时间的粒子物种的强磁化等离子体，磁场在碰撞过程中对粒子的轨迹影响显着，必须考虑其对碰撞项的影响。
强磁化条件也可以表示为粒子种类的热陀螺半径小于λDλD或者该物种的陀螺频率大于其等离子体频率，在许多情况下都发现具有强磁化成分的等离子体，例如反物质陷阱、非中性等离子体、超冷中性等离子体、托卡马克刮除层等离子体、天体物理等离子体、激光等离子体、由于回旋加速器发射而产生的强各向异性等离子体等等。
在这种强磁化等离子体中，考虑碰撞中的磁场将显着影响碰撞输运过程，例如摩擦力、电子冷却、电阻率、温度弛豫、垂直粒子和热传输等。以上讨论的三种方法已成功地推广到强磁化等离子体的动力学方程的推导。
除了更复杂的推导之外，应用 BBGKY 和 QL推导磁化碰撞项的方法，相对而言，FP方法对强磁化情况的推广并不是那么顺利，在强磁化等离子体中，碰撞过程中由于旋转运动而产生的粒子速度变化与速度本身相当，这使得速度变化的高阶矩对碰撞项的贡献不可忽略。
因此，FP 方程的通常形式在这种情况下变得不适用，Dong 等人解决了这个问题，使用坐标变换方法，他们推导出空间均匀磁化等离子体 FP 方程的一般形式，利用BC理论和波动理论分别计算磁化FP系数，再现了磁化Landau碰撞项和BLG碰撞项。
在本文中，我们将尝试对磁化等离子体碰撞项的理论知识进行系统的调查，区分两种情况，一种是弱磁化等离子体，其中所有等离子体种类的热陀螺半径都小于但大于，在这种情况下，碰撞可以被视为在没有磁场的情况下发生，因此，碰撞项与未磁化等离子体的碰撞项相同。
另一种是强磁化等离子体，其中所有等离子体种类的热陀螺半径都远大于，但至少其中一个小于λmfpλmfpλDλDλLλLλDλD，如果碰撞涉及一种热陀螺半径小于λDλD，必须考虑磁场效应。在大多数情况下，可以针对磁化等离子体导出碰撞项，而无需区分它是弱磁化还是强磁化。
为了更好地描述碰撞项的推导方法和过程，并显示弱磁化和强磁化碰撞项之间的差异，本文实际处理了无磁场和均匀磁场两种情况，对于无磁场的情况，考虑空间不均匀等离子体，但碰撞以局部近似处理，而对于均匀磁场的情况，仅考虑空间均匀等离子体，论文中的讨论大部分采用摄动方法，即沿着未摄动轨道积分，或线性响应理论。
反射的新颖效果和由于引导中心碰撞中速度扩散导致的“碰撞笼”被搁置，部分原因是相关研究从获得碰撞项的角度来看还不够系统和完美，对这些方面感兴趣的读者可以参考UCSD小组的系列工作。
结论
本文综述了在无均匀磁场和有均匀磁场的等离子体静电近似中推导碰撞项的 FP、BBGKY 和 QL 方法，除无磁场情况下 BC 模型内 FP 系数的计算外，所有涉及的推导均基于微扰理论。
结果表明，这三种方法在推导BLG 碰撞项时是等效的，该碰撞项具有与守恒定律和熵产生相关的所有所需特征，为了完整性和方便仅对非磁化和磁化碰撞项之一感兴趣的读者，重复了一些类似的推导过程，由于在推导过程中使用了微扰理论，BLG 碰撞项在弱耦合近似中有效。
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