公司不与你签订劳动合同以及不缴纳社保的行为都是违法的，是可以去当地人力资源和社会保障局（原劳动局）内的劳动争议仲裁委，申请劳动仲裁的。
但是题主先不要提出离职，或者以上面的理由为由提出辞职。千万不要与公司协商解除或者是说是以你的个人原因提出辞职。
根据劳动和社会保障部公布《关于确定劳动关系有关事项的通知》
一、用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立。
(一)用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；
(二)用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；
(三)劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。
二、用人单位未与劳动者签订劳动合同，认定双方存在劳动关系时可参照下列凭证：(一)工资支付凭证或记录(职工工资发放花名册)、缴纳各项社会保险费的记录；
(二)用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等能够证明身份的证件；
(三)劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录；
(四)考勤记录；
(五)其他劳动者的证言等。
题主有银行打印的工资流水清单，如果还能显示出公司名称和代发工资的，是可以证明双方之间劳动关系的，可以要求用人单位支付未签订合同的双倍工资，最长可以要求11个月的。然后还能到当地社保局要求单位为你补缴社保。