汤雪峰
扬州市广陵区教研员，江苏省教育科研先进工作者；2019年度国家级课题“新中国成立70年小学数学教育发展史研究”主持人；有“小学数学课程的历史嬗变”系列文章在《福建教育》连载。
小学数学
“整体教学”的五大策略
21世纪以来，我国小学数学教科书在教学内容安排上，一般采用“大螺旋式”编排结构，即在六个年级教学内容的整体编排上采用螺旋式，其中每个单元上采用直线式。这种“小步子”“高密度”的单元知识编排方式，虽然强调了数学内容内部每一领域的连续性与系统性，但是由于时间跨度大，学生容易遗忘，而且不利于知识整体结构的系统性。
数学知识都不是独立存在的，每个知识点都处于彼此关联的知识体系之中，都存在着自身的历史和逻辑结构。那么，根据知识的结构体系，以及学生已有的认知基础，以整体方式展开教学，促进学生深度学习的落实，显得尤为重要了。
这里主要介绍小学数学整体教学的本质内涵、理论基础和实践策略。
一、小学数学整体教学的本质内涵
整体教学是指基于关联性和整体性原则，遵循学科知识的内在结构，依据学生身心发展的规律和现状，寻求学科知识之间以及学科知识与学习者心理结构之间关联的教学方式。整体教学以帮助学生掌握学科知识，提高学生的学科能力、学科素养为目标，追求学生习得知识的整体性和生长性，为学生的有意义学习提供基础。
小学数学整体教学是指根据数学知识的系统结构，结合小学生心理特征和已有认知基础，整合相关教学内容，以凸显关联性和整体性的方式进行教学。这种整体教学活动，不仅有利于小学生从整体上把握数学知识本质，形成完善的数学认知结构，而且有助于学生获得数学思想，提升数学能力，发展数学素养。
二、小学数学整体教学的理论基础
1.结构课程论。美国著名教育心理学家杰罗姆·S·布鲁纳在其著作《教育过程》中指出“一门学科的课程应该决定于对能达到的给那门学科以结构的根本原理的最基本的理解。教专门的课题或技能而没有把他们在知识领域更广博的基本结构中的脉络弄清楚，这在几个深远的意义上，是不经济的。”布鲁纳认为学生掌握学科课程的基本结构,不仅有利于对新旧知识的理解和掌握,同时也有利于后续学习的开展。
根据结构课程论,在小学数学教学内容选择和编排上，要理清小学数学知识体系中的核心知识，以及各知识点之间的纵横联系。教学中要体现数学知识自身结构与学生认知结构之间的应然联系。
2.意义学习论。美国心理学家D·P奥苏伯尔在《教育心理学——认知观点》中指出有意义学习的条件为“（1）学习者表现出有意义的学习心向；（2）所要学习的材料对学习者来说是有潜在意义的。”条件（1）是指有把新的学习材料以非人为的和实质性的方式和学习者的认知结构联系起来的倾向。我们在教学中，就是要分析学习者认知结构中有哪些认知基础与新的学习内容之间存在潜在意义。条件（2）是指学习材料具有逻辑的意义，也就是说学习内容同学习者的已有认知基础之间存在非人为的和实质性的关联。
所以，我们认为学生数学学习的过程本质上就是一个数学认知的过程；学生数学认知的发展就是学生数学认知结构的发展。教师应该根据数学的系统结构，以及学生已有认知结构中的相关内容，设计具有逻辑意义的学习内容，引导学生在有意义学习中不断丰富和发展自己的数学认知结构。
三、小学数学整体教学的实践策略
小学数学整体教学着眼于学生对数学知识的深刻理解和整体把握，从围绕小学数学的核心内容展开，整体剖析一组核心内容所体现的教育价值，确定学生发展的整体目标，明确核心内容背后的研究主题，在此基础上对其进行整体设计与实施 ，进而促进学生的持续发展。
在小学数学整体教学实践中，有以下几种常用策略。
1.数学概念间的整体教学
从数学概念具有严密的逻辑关联性的特点来看，有不少数学概念都是在原始概念的基础上，以逻辑加以定义，以言词（或符号）定型产生的。例如，三角形和锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等概念之间显然存在着严密的逻辑联系。因此，有时某个概念的界定，需要借助与其他相关概念之间关系的描述。同时，也正是因为概念间常常存在着这样的依存关系，才能构成一个个完整的概念系统。
根据数学概念的系统联系性特征，我们在小学数学教学中，要充分尊重数学知识的来龙去脉和纵横联系，尊重儿童的认知基础和认知规律，这样才能帮助学生在有意义学习中形成完善的数学认知结构。
例如，在“小数的意义”教学时，我们根据小数连接了十进分数和整数两个数（量）表征系统的特征，明确可以从两条途径教学小数的概念：一是通过分数的“部分与整体”关系，引导学生理解小数的意义；二是利用整数的十进制关系和位值原理，帮助学生掌握小数的结构特征。
教学中，我们一方面需要引导学生观察、对比了解一位小数、两位小数和三位小数后，引导学生发现小数和十进分数密不可分，进而让学生借助十进分数，经历操作、观察、抽象、概括等相数学活动初步形成小数的概念；另一方面我们也要借助“十进分数”的本质特征内涵，体现小数是和整数的共同的十进制关系，突出小数联系整数和分数两个表征系统的作用。从而使学生认识到，小数的意义来源于分数，小数的组成结构是从整数的十进制关系和位值原理延伸而来的。这样的教学处理不仅仅考虑了小数的来龙去脉、自身结构以及与相关知识点的纵横联系，从学生的层面，更充分考虑了学生原有的认知结构，有利于学生在有意义的数学学习中建构完善的数学认知结构。
此外，像“乘法和除法”“倍和几分之一”“因数和倍数”等存在关联性的数学概念之间也都可以实现整体教学。
2.数学概念和规则的整体教学
数学规则一般是表示两个或两个以上的数学概念间之间固有关系的叙述，通常以经过严格论证的数学命题的形式来呈现。在小学数学教学中，数学规则的教学主要是运算法则、运算性质和计算公式的教学。
学生对于数学规则的学习与数学概念的学习相似，也是新的规则内容与原有认知结构中相关内容相互作用，形成新的认知结构的过程。规则学习的关键是学生能获得数学概念之间关系的深刻理解，而数学概念之间关系的理解往往又依赖于新规则与原有认知结构中有关内容的潜在联系。
例如，在“小数加减法法则”的教学时，通常可以分两个层次的整体教学进行。第一个层次是数学概念和规则的整体教学，即根据学生已经获得的小数概念，学习小数的加减法，使学生初步认识到小数加减法必须小数点对齐。教学时，可以从学生比较熟悉的购物付款、身高测量等情境出发，启发学生提出用加减法解决实际问题。
对于算题，可以先让学生借助生活经验先口算结果，进而落实到竖式计算。引导学生发现因为10个0.1就是1，所以我们把小数点对齐后，小数加减法就可以按照整数加减法的计算法则进行计算。这时，一般不要求学生归纳总结小数加减法计算法则，而让学生根据小数的意义初步思考。这样就完成了概念与规则间的整体教学。此外，长方形的概念与长方形的周长、面积计算公式之间；长方体的概念与长方体的表面积、体积计算公式等等都可以通过这样的整体教学来实现。
3.数学规则间的整体教学
我们接着上述“小数加减法”的教学，进行第二个层次系统教学小数加减法计算法则，就是通过数学规则间的整体教学来完成的。因为学生已经具有了“在整数加减法计算中只有计数单位相同的数才可以直接相加减”的认知基础和相关经验。也就是说，学生具有有意义学习的心向。教学中适时提供“小数点对齐后，相同数位就对齐了”这样具有逻辑意义的学习材料后，学生就可以在有意义的学习中，获得小数加减法与整数加减法的本质联系，进而掌握小数加减法的计算法则。
同样的道理，在“分数加减法法则”的教学中，因为分数加减法的意义与整数、小数加减的意义相同，所以它们的运算法则也应该存在着潜在的联系。事实上，它们的计算法则在本质上都是将计数单位相同的数直接相加减。因此，整数、小数加减法分别要求“相同数位对齐”“小数点对齐”，而分数加减法则要求先通分，使得分数单位统一。这样，分数加减法的运算法则便和整数、小数加减法法则得到了一致。这时，学生形成的新的认知结构又将促进学生原来对整数、小数计算法则的理解，形成更加完善认知结构。
此外，比如学生已经学会长方形面积计算公式，那么就可以借助规则间整体教学的策略，根据化归思想，进一步学习正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。
4.数学知识和解决问题的整体教学
数学概念和数学规则都是数学知识的范畴，数学知识和解决问题是否存在着整体教学的必要和可能呢？我们先通过几个学生对一道实际问题的错误解法，来分析解决问题与理解数学概念的关联性。
我们可以看出：学生1应该是掌握了带分数除以分数的计算规则，即“将带分数转化为假分数后，再乘以原来除数的倒数”。但是，学生1对于除法的意义没有完全理解。本题是属于除法中的“包含除”类型，数量关系为“总数量÷单位量=总份数”。因此，（5又2/3)千克÷2/5千克/瓶=(14又1/6）瓶，可见剩下的是1/6瓶，1/6瓶×2/5千克/瓶=1/15千克。当然，学生2也算错了。这两名同学在解决问题中呈现出的错误解法各自不同，但他们造成错误的原因至少都有一点就是没有完全理解分数除法的相关概念或规则。所以，在解决问题的教学中，理应结合解决问题所涉及的相关知识，在整体上开展教学活动。
同理，学生若不认识长方体，以及不理解长方体的长、宽、高的概念，就无法正确计算长方体表面积和体积，更谈不上去解决相关复合问题了。同样，若不理解概率的基本概念和原理也就无法去解决和概率相关的实际问题。所以，我们在运用数学知识、数学技能和数学思想解决实际问题时，要有整体上的理解和把握。
小学数学“整体教学”既是一种提升教学价值的实践策略，也是一种思考小学数学的思维方式，值得重视。
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