大家好！本文和大家分享一下这道2012年高考全国1卷理科数学的压轴题。这是一道导数综合题，综合考查了导数的计算、导数与函数单调性、导数与函数的最值等知识。题目的难度还是很大的，不少班级都是全军覆没了。下面一起来看一下这道高考压轴题。
先看第一小问：求f(x)的解析式及单调区间。
根据题意不难发现，要求f(x)的解析式，只需要求出f'(x)和f(0)的值即可。
由f(x)=f'(1)e^(x-1)-f(0)x+x^2/2可得，f(0)=f'(1)/e，且f'(x)=f'(1)e^(x-1)-f(0)+1，所以当x=1时，f'(1)=f'(1)e^(1-1)-f(0)+1=f'(1)-f(0)+1，解得f(0)=1。所以f'(1)=ef(0)=e。故函数f(x)的解析式为：f(x)=e^x-x+x^2/2。
接着再讨论函数f(x)的单调性。
对f(x)求导，得到f'(x)=e^x-1+x。令g(x)=f'(x)=e^x-1+x，则g'(x)=e^x+1＞0在R上恒成立，即g(x)在R上为增函数，也就是f'(x)在R上是增函数。
令f'(x)=e^x-1+x=0，解得x=0，所以当x＜0时，f'(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x＞0时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数。
再看第二小问：求(a+1)b的最大值。
这一问是个双参数问题，而遇到双参数问题首先需要看这两个参数之间是否存在某种关联。如果存在关联，那么实际上就是单参数问题，只需要利用两个参数之间的关联性消去一个参数。如果不存在关联性，也就是说两个参数的取值互不影响，这个时候才是真正的双参数或者说二元函数问题。
在本题中，a、b之间不存在关联性，所以也就不需要考虑两者之间的关系。
回到题目，将f(x)≥x^2/2+ax+b移项整理得e^x-(a+1)x-b≥0，所以我们构造新函数h(x)=e^x-(a+1)x-b，那么就有h(x)在R上的最小值都要大于等于零。于是，接下来就变成了求函数h(x)的最小值。
先对h(x)求导，得到h'(x)=e^x-(a+1)。由于e^x＞0，所以当a+1≤0时，h'(x)＞0，即h(x)在R上单调递增。又当x趋近于负无穷时，h(x)也趋近于负无穷，这与h(x)≥0相矛盾。
当a+1＞0时，由h'(x)=0得，x=ln(a+1)，所以当x＜ln(a+1)时，h'(x)＜0，当x＞ln(a+1)时，h'(x)＞0，所以h(x)≥h(ln(a+1))=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b。由于h(x)≥0恒成立，所以(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0，即b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1)，故(a+1)b≤(a+1)^2-(a+1)^2ln(a+1)。
令ψ(x)=x^2-x^2lnx，x＞0，求出ψ(x)的最大值也就是(a+1)b的最大值。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？