摘 要：

【目的】Duffing振子是一种典型的非线性动力系统，混沌状态的判断是利用Duffing振子进行水工结构动力响应信号检测的基础准则。Duffing振子系统进入混沌状态时，系统状态时序图和相图会变得更为无序和复杂，可以对系统状态进行直观反映，但直接将二者作为系统混沌状态的判断依据，存在较为模糊和主观性较大的问题。为了对Duffing振子系统状态时序图和相图的复杂程度进行定量描述，以便更准确地利用二者对Duffing振子系统混沌状态的判断，【方法】提出了一种利用系统内状态量的时序图和相图盒维数的指数组合的指标，将该指标是否发生突变作为利用Duffing振子进行信号检测时的混沌状态的判断依据。【结果】所提出的Duffing振子混沌状态识别指标在Duffing方程的仿真分析、正弦波仿真信号检测和悬臂梁锤击动力响应信号检测试验中分别表现出22.611%、17.514%和30.975%的相对变化率。同时振子对应的李雅普诺夫指数也由负转正，但Duffing方程的仿真分析结果显示李雅普诺夫指数作为识别指标更为敏感，在振子系统的时序图和相图未明显表现出混沌状态时，其已经由负转正。【结论】由试验结果可知：可以根据所提出识别指标是否发生突变进行识别振子混沌状态，达到信号检测的目的。同时，所提出的混沌状态识别指标以时序图和相图的复杂程度直接作为判断标准，与其他指标相比更为直接和合理。悬臂梁动力响应信号检测试验初步验证了所选取的识别指标应用到具体工作中的可行性，有望应用于结构损伤识别，共振发现等工作中。

关键词：

动力响应信号;Duffing振子;信号检测;非线性动力系统;混沌判据;

作者简介：

刘星(1987—),工程师，博士，主要从事水电工程建设管理工作及设备检测研究。

基金：

国家重点研发计划课题(2018YFC1508603);

中央高校专项资金资助项目(2019B70514);

引用：

刘星, 张靓靓, 高名杨, 等. Duffing 振子在水工结构动力响应信号检测应用中的一种混沌判据[ J] . 水利水电技术(中英文), 2023, 54(11): 135-145.

LIU Xing, ZHANG Liangliang, GAO Mingyang , et al. A chaotic criterion for the detection of dynamic response signals of hydraulic structures using Duffing oscillators[J]. Water Resources and Hydropower Engineering, 2023, 54(11): 135- 145.

0 引 言

动力响应信号重要且广泛存在在泄水诱发振动与周围场地共振特性的研究、水工闸门流激振动响应特性研究、水电(泵)站机组及厂房结构共振校核和水力机械流激振动等工作中，信号检测(频率成分检测)是分析动力响应信号的基础性工作，由于外界环境和内部电路等因素的干扰，实际动力响应信号中会包含一定比例无用的随机噪声信号，这些随机噪声信号无论是在时域和还是在频域上都会与有用的动力响应信号混杂，传统的信号检测方法主要是通过数学变换进行的，如傅里叶变换和小波变换等，这些方法首先要对噪声信号和有用信号进行区分后滤除和压制无用噪声，如经典的有限脉冲响应(FIR)和无限脉冲响应(IIR)等，这些方法不可避免地会对有用信号造成损害且能检测的信噪比下限较低。

对周期信号敏感的同时对平稳随机信号免疫是Duffing振子的重要特征,利用这一特征可以利用Duffing振子对周期信号进行检测。Duffing振子对周期信号进行检测的原理主要是依靠振子系统状态的改变实现的，一般将振子系统由周期状态向混沌状态的转变称之为正相变，由混沌状态向周期状态的转变称为逆相变，当振子系统各项参数确定后，系统状态主要由策动力(外界输入)控制。Duffing振子对周期信号进行检测基本流程为：首先通过改变振子系统内置策动力幅值，将振子系统置于正相变或逆相变的临界状态，此时系统内置策动力幅值为临界幅值。之后加入待检测信号(含噪动力响应信号),如果待检测信号中存在与内置策动力周期相近的成分，处于临界状态的振子系统将发生正相变和逆向变，最后通过对系统状态是否发生改变进行识别和判断从而完成信号检测。

自Duffing振子首次用于微弱信号检测领域后，国内外许多科研工作者不断对Duffing振子在信号检测中的应用进行改进和发展，主要集中在由单一振子系统向耦合振子系统发展以拓展信号检测信噪比下限。例如：WANG等在带时延反馈和乘法噪声中应用Duffing振子进行信号检测；CHENG 等利用耦合振子进行导波信号检测分析；并且针对耦合振子数值求解速度慢的问题，姜敏敏等提出一种数值并行求解方法提升耦合Duffing振子数值求解的速度。

信号检测信噪比下限的拓展和求解速度加快是利用Duffing振子进行信号检测重要研究方向，对混沌状态的判断依据(混沌判据)的研究也极为重要，混沌判据可以判断动力系统是否发生混沌现象，是利用动力系统进行信号检测的直接指标，其中李雅普诺夫指数是最为经典和常用的混沌判据,其描述的是相空间中初始状态较为接近或无限接近两条轨道随动力系统发展相互发散或收敛的平均速率。此外，混沌映射分岔图也是一种系统混沌判据,并应用至诊断混凝土坝裂缝的异常检测。动力系统状态的时序图(状态与时间的关系图)和相图(不同状态之间的关系图)能够直接反映系统是否处于周期状态或是否存在奇异吸引子(混沌吸引子：它表征具有复杂的拉伸、扭曲的相空间结构),从而直观反映系统是否处于混沌状态。但时序图和相图作为系统混沌判据直接使用时，主观性较强，判据较为模糊。

计盒维数(盒维数)是分形几何中测量度量空间中分形维数的一种计算方法，盒维数本质上是图像表面的空间复杂程度的定量描述，多应用于对图像表面纹理特征进行定量描述，如图像的分割和分形特征描述。在时间序列的处理上也有一定的应用，如结构的冲击定位。在Duffing振子系统中，时序图和相图是系统状态量的两种表示，单个状态变量的时序图和两个状态变量构成的相图本质上是平面图像，用盒维数对二者的复杂程度或是说分形特征进行描述是合理的。

基于盒维数的特点，针对时序图和相图作为系统混沌判据直接使用时，主观性较强，判据较为模糊的问题，本文利用计盒维数对时序图和相图进行定量描述，构建时序图和相图复杂程度的评价指标，将该数值指标是否发生突变作为动力系统的一种混沌判据。仿真试验和悬臂梁锤击试验动力响应信号检测试验结果显示：本文所提出的混沌状态识别指标以时序图和相图的复杂程度直接作为判断标准，与其他指标相比更为直接和合理。并初步验证了本文所选取的识别指标应用到结构损伤识别，共振发现等具体工作中的可行性。

1 混沌振动的数值识别

1.1 Duffing振子的信号检测应用

Duffing振子方程的基本表达式如下

式中，γ为阻尼系数；α和β为非线性恢复力系数；Asin( ωt )为内置策动力；A为内置策动力幅值；ω为内置策动力角频率；s( t )为待检测信号中的有用信号；n( t )为待检测信号中的噪声信号。

对式(1)的微分方程进行降阶，得到如下一阶微分方程组

式中，y为系统的另一状态变量，其本质上是状态变量x的一阶导数，其余各项符号意义与式(1)相同。

传统的Duffing振子正相变检测是将策动力幅值A设置为临界值Ac,加入待测信号，如果待测信号中含有与策动力角频率相同且相位一致的微弱信号，叠加后的幅值超过临界值Ac,系统发生正相变，从而检测出待测信号。所以Duffing振子信号检测首先需要对内置策动力幅值的临界值Ac进行数值识别。

固定阻尼比γ、非线性恢复力系数α和β、内置策动力角频率ω后，随着内置策动力幅值A的变化，系统将由周期振荡状态进入混沌状态。当系统中未加入待检测信号s( t )+n( t )时，系统存在一个由周期振荡状态进入混沌状态的临界策动力幅值Ac,当策动力幅值大于临界幅值时，系统进入混沌状态，反之处于周期振荡状态。将内置策动力幅值A固定在临界值Ac后，加入待检测信号s( t )+n( t ),如果待检测信号中存在与内置策动力同频共振的谐波成分，相当于增大了内置策动力幅值A,系统此时由周期振荡状态进入混沌状态。混沌判据可以判断系统状态是否发生了改变，从而判断待检测信号中是否存在于内置策动力共振的谐波成分，实现信号检测。

1.2 经典混沌判据

李雅普诺夫指数是一种经典混沌判据，假设在一维离散动力系统Xn+1=F( Xn ),n次迭代后相距为

式中，x0为系统状态量；F为动力系统迭代方程；n为迭代次数；δ为轨道初始距离；e为自然常数。

取极限δ→0,n→∞,则

式中，λ为轨道分离指数。

从上述不难看出，如果λ>0,动力系统中初始状态相近的两条轨道，随时间始终按照指数分离，这意味着对动力系统初始状态进行微小的干扰后，随动力系统的发展，系统状态将发生很大的变化。

如图1所示的一维连续动力系统，初始时刻t0两条轨道相距P0(t0),系统到达t1时刻时两条轨道相距P(t1),从t1时刻按照初始时刻t0两条轨道距离P0再次发展，系统到达t2时刻时两条轨道相距P(t2),以此类推。李亚普诺夫指数为

图1 相空间轨道分离示意

1.3 改进混沌判据

在分形几何中，盒维数也称为闵可夫斯基维数，是一种度量空间分形维数的计算方法。分形S的盒维数d可以表述成覆盖分形S所需要的网格个数N与网格边长μ的关系式

盒维数可以度量曲线的复杂程度，如图2所示，单元直线的盒维数为1,单元平面的盒维数为2,一维曲线的盒维数在1和2之间，盒维数越高代表曲线越复杂。

图2 盒维数示意

系统处于周期状态和混沌状态的典型时序图和相图盒维数划分示意由图3和图4所示：理论上，当系统状态的时序图脱离如图3(b)所示的周期状态，系统状态的相图由图3(a)所示的平庸吸引子(与奇异吸引子相对，它表征简单的空间结构)向如图4(a)所示的奇异吸引子发展，系统状态时序图变为如图4(b)所示的随机状态，二者变为更为复杂的形态。

图3 系统处于周期状态时的相图和时序图

图4 系统处于混沌状态时的相图和时序图

可以通过系统状态时序图和相图的盒维数构建混沌振动识别的数值指标FD

式中，FD为数值指标；Aa、Ab分别为相图与时序图的范围面积；Fa、Fb分别为相图盒维数与时序图盒维数。

式(7)中Aa、Ab和Fa、Fb的计算流程如下：

首先，以相图为例获取相图曲线临界值(最值),通过下式计算Aa

式中，ymax、ymin、xmax、xmin分别为相图中两个坐标方向的临界值(最值)。

在振幅较大，相图和时序图坐标轴范围较大导致数值指标FD计算溢出时，可以考虑同比例缩小。

其次，对相图横纵坐标进行归一化处理，有

式中，y′和x′分别为相图归一化后的两个坐标值。

最后，利用式(6)计算d,d=Fa。

理论上，当动力系统由周期状态转为混沌状态时，相图和时序图的曲线形态会变得更复杂，本文所构建的数值指标FD会有较大幅度提升，通过加入待检测信号前后FD的相对变化程度可进行系统混沌状态识别。

2 Duffing振子信号检测的仿真与试验

2.1 Duffing方程的仿真分析

首先确定系统的临界内置策动力幅值Ac:固定阻尼比γ=0.154,非线性恢复力系数α=-1,β=4,固定内置策动力角频率ω后，随着内置策动力幅值A的变化，系统将由周期振荡状态进入混沌状态。计算过程中分别计算舍弃一定时段的暂态过程的李雅普诺夫指数(本文取最后时间的李雅普诺夫指数)与本文基于系统状态时序图与相图盒维数建立的指标FD。

Duffing振子仿真数值识别结果如表1所列、图5和图6所示，表1中结果显示：最大李雅普诺夫指数在内置策动力幅值为1.25和1.26由负转正，本文指标FD在内置策动力幅值由1.26变为1.27时有幅度较大的增加。本文指标FD与最大李雅普诺夫指数共同指示：阻尼比γ=0.154,非线性恢复力系数α=-1,β=4,内置策动力角频率ω=1 rad/s时，Duffing振子内置策动力幅值临界值在1.25～1.27间。

图5 加入试验波前的结果

图6 加入试验波后的结果

由图5和图6的仿真结果中的时间序列图和相图分析：内置策动力幅值为1.27时，平庸吸引子开始向奇异吸引子过渡，同时时间序列图也由较为明显的周期振动状态向随机振动过渡。

综上所述：本文指标FD在阻尼比γ=0.154,非线性恢复力系数α=-1,β=4,内置策动力角频率ω=1 rad/s的Duffing振子的混动状态识别中，表现出与李雅普诺夫指数相近的效果。但二者所呈现的结果在细节上有一定的差异，李雅普诺夫指数对策动力幅值的变化更为敏感，在系统未明显进入混沌状态时(根据相图和时序图判断),李雅普诺夫指数就已经出现了正值。而本文所提出的指标由于直接以时序图和相图的曲线复杂程度为判断标准，故更为合理和准确。这初步验证了本文所选取指标FD的可行性和优越性。

2.2 谐波信号的检测

2.2.1 正弦波仿真试验

选取角频率ω=1 rad/s的正弦波，加入-20 dB的高斯白噪声，对上述Duffing振子信号检测原理进行验证，试验波形如图7所示。信噪比所指为有用信号功率与噪声功率的比。因此为幅度平方的比，有

图7 试验波形

其单位一般使用分贝，其值为十倍对数信号与噪声功率比，即

式中，Psingal为信号功率；Pnosie为噪声功率；Asingal为信号幅度；Anosie为噪声幅度。

将上述Duffing振子内置策动力幅值置于临界值1.25,加入图7所示试验波形，分析对比加入前后的动力系统数值指标进行正弦波信号仿真检测。正弦波检测结果如表2和图8所示，由表2可知，加入带有噪声的正弦波后，李雅普诺夫指数由负转正，本文指标FD明显增加。且由图8所示，时序图由周期振动转为随机振动，相图显示平庸吸引子向奇异吸引子过渡。

图8 加入试验波后的结果

综上所述，在阻尼比γ=0.154,非线性恢复力系数α=-1,β=4,内置策动力角频率ω=1 rad/s的Duffing振子中，将内置策动力幅值置于临界幅值AC=1.55,加入含有-20 dB高斯白噪声的角频率ω=1 rad/s的正弦波，加入-20 dB的高斯白噪声，对上述Duffing振子信号检测原理进行验证，本文指标FD表现出与李雅普诺夫指数相近的效果，仿真结果显示信号检验成功。本文所设计的指标FD应用更加客观和方便，为混沌系统状态识别提供了一种新的可行数值指标。

2.2.2 悬臂梁锤击动力响应信号检测

如前所述，利用Duffing振子可以进行水工结构动力响应信号检测，并有望应用于例如厂房共振、损伤识别等诸多工作中。本小节通过典型重力坝地震破坏案例进一步说明Duffing振子和本文指标的一个应用方向。同时通过悬臂梁锤击动力响应信号检测试验验证了本文所选取指标FD的可行性。

地震是水工建筑物在运行期间常见的动力荷载之一，柯依纳大坝是一个受地震破坏的典型案例。该重力坝在1967年遭受了里氏6.5级地震，震后坝顶以下40 m左右处出现多条水平裂缝。如图9所示，可以基于坝体强震动监测台网加速度响应信号评估损伤，其中基于结构自振频率变化是应用较为广泛的结构损伤识别方法。检测加速度响应信号的频率成分可以到达损伤检测的目的，故Duffing振子以及其混沌状态识别指标可以应用于此。

图9 柯依纳大坝震后示意

由于实际水工结构模型尺寸较大，激振困难，故本文搭建悬臂梁锤击试验系统验证本文所提出指标的可行性。本文所构建的指标不依赖于结构和材料形式，本次的试验结果对于将本文所构建的指标应用于实际水工结构动力响应信号检测工作中的可行性有一定的验证作用。试验系统由铝合金悬臂梁、冲击力锤、DS1103 PPC及ICP传感器信号调节器、压电式加速度传感器组成。试验系统如图10所示：悬臂梁长度为0.6 m, 截面长为0.03 m, 宽为0.008 m。冲击力锤原理为：当系统收到脉冲激励后，将会按照自身的固有频率进行振动。悬臂梁响应信号将由加速度传感器收集。

图10 悬臂梁锤击试验

悬臂梁锤击加速度响应信号的时程图和频谱图如图11所示，由图11可知，悬臂梁锤击动力响应信号中，2.345 54 Hz为主要频率(对应角频率的14.73 rad/s)。

图11 悬臂梁锤击动力响应

通过3.2.1小节所述的方法，将Duffing振子系统内置策动里幅值置于临界值3 188后，加入锤击动力响应信号，悬臂梁锤击动力响应信号检测结果如表3、图12和图13所示。由表3可知，加入锤击动力响应信号后，李雅普诺夫指数由负转正，本文指标FD明显增加。由图12和图13可知，时序图由周期振动转为随机振动，相图显示平庸吸引子向奇异吸引子过渡。

图12 未加入响应信号时的结果

图13 加入响应信号后的结果

综上所述：在阻尼比γ=0.154,非线性恢复力系数α=-1、β=4,内置策动力角频率ω=14.73 rad/s的Duffing振子中，将内置策动力幅值置于临界幅值AC=3 188,加入悬臂梁锤击动力响应信号，对上述Duffing振子信号检测原理进行验证，本文指标FD表现出与李雅普诺夫指数相近的效果，仿真结果显示信号检验成功。本文所设计的指标FD应用为混沌系统状态识别提供了一种可行的数值指标。

2.3 结果与讨论

本文所提出的Duffing振子混沌状态识别指标在Duffing方程的仿真分析，正弦波仿真信号检测和悬臂梁锤击动力响应信号检测试验中分别表现出22.611%,17.514%和30.975%的相对变化率。同时振子对应的李雅普诺夫指数也由负转正，本文所提出识别指标可以识别振子混沌状态，达到信号检测的目的。但Duffing方程的仿真分析结果显示李雅普诺夫指数作为识别指标更为敏感，在振子系统的时序图和相图未明显表现出混沌状态时，其已经由负转正。本文所提出的混沌状态识别指标以时序图和相图的复杂程度直接作为判断标准，同时利用盒维数对其进行定量描述，更为直接和合理。

如前所示，频率成分是水工结构动力响应信号分析中重要的特征，在结构损伤识别，共振发现等工作中应用广泛。如通过结构自振频率的变化进行损伤识别；从机组和厂房的动力响应信号中及时发现与结构自振频率相近的信号成分，避免共振破坏等。本文从Duffing振子和本文所提出的混沌状态识别指标在结构损伤识别中的应用出发，开展了悬臂梁动力响应信号检测试验，试验初步验证了本文所选取的识别指标应用到具体工作中的可行性。

各类试验结果同时显示了本文所选取的识别指标的局限性，其中最为明显的是：虽然在对混沌状态进行识别时，本文指标有较大的突变。但对其具体的突变阈值本文并未做出深入的研究和讨论，这可能是今后研究的一个主要方向。

3 结 论

Duffing振子被广泛应用于信号检测工作中，其中振子混沌状态的识别指标是影响其应用效果的关键因素。本文提出的指标直接以时序图和相图的复杂程度直接作为判断标准，同时利用盒维数对其进行定量描述，提出了一种适用于系统混沌振动数值识别的数值指标FD,其主要结论如下：

(1)动力系统状态时序图和相图能够直接反应系统是否处于周期状态或是否存在奇异吸引子。利用盒维数可以对二者进行定量描述，根据二者的盒维数可以确定混沌判据；改进的混沌判据能够较好地进行信号检测，为混沌系统状态识别提供了一种可行的数值指标。

(2)由仿真与试验可知：本文指标FD显示出与经典混沌判据李雅普诺夫指数相近的效果。但本文所提出的混沌状态识别指标以时序图和相图的复杂程度直接作为判断标准，试验结果显示其更为直接和合理。同时试验初步验证了其推广应用的可行性，有望应用于诸如与厂房共振的强迫振动频率的发现，混凝土坝损伤检测等基于水工结构动力响应的实际信号处理工作中。

(3)根据本文建立的动力系统混沌振动数值识别指标FD虽然在系统状态发生正相变(由周期状态进入混沌状态)时有较大幅度的提升，但对于可作为混沌振动识别的指标FD幅度具体数值并未做出深入研究，后期工作需要集中于此。

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