狄利克雷数论讲义 (六年级数学狄利克雷)

d t 四是属于构造数的类型,它说从一到五十这五十个自然数中至少选出多少个数才能保证一定有两个数的差是十六。所以这个时候同样来分析一下想让差是十六,差是十六的数会有哪些情况?同样先分组考虑一下。

·如果选了一,和一差是六的肯定是七,这个时候另一个数据应该是七。

·同样如果选了七,另一个差是六的就应该是十三。

·如果选了十三,下一个六的就应该是十九。

·如果选了十九,下一个和十九是十六的可能是二十五。

·如果选了二十五,十六的就应该是三十一。

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·如果是三十一,下一个就应该是三十七。

·下一个四十,三,下一个四十九。

所以这个时候会发现有这样一些情况,一和七,七和十三,十三和十九这样依次类推,它们相邻两个数的差是十六。

·如果第一个数选的是二,选的是二就可能是八,二和八连得六。

·然后十四,二十,二十六,三十二,三十八,四十四和五十这些数放在一起,它们的差相点为六。

·如果选的是三,如果选的第一个数是三,可能就是九十五,二十一,二十七,三十三,三十九,四十五,五十一,五十一不在这个范围之内。

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·如果第一个数选的是四,就可能是十六,二十二,二十八,三十四,四十,四十六。

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·如果选的第一个数是五十一,十七,二十三,二十九,三十五,四十一,四十七。

·如果选的第一个数是六十二,十八,二十四,三十,三十六,四十二,四十八。

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所以现在电视厅把所有的数从一到五十所有的数列表列出来。现在列表之后发现差是六的可以分成这样的六组,一组一组看。

·如果选了一,接下来能不能选七?想让差是六,现在是偏偏让它差不是六,这个时候就不能选七。

·同样不能选七,接下来就可以选十一。选了十三就不能选十九,接下来就可以选二十五,三十七,四十九。

也就是说第一组里面如果这样选,它们组合在一起的时候就一定没有差是六。这样观察一下,一共有这样的一,一二,三四,五个数。

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·同样的第二组如果选了二,就只能选十四,二十六,三十八和五十这样的五个数。

·第三组如果选了三,就只能是十五,二十七,三十九这样的数。

以此类推,发现下面的每组都是这样的四个,下面的每组都是这样的四个数。所以这个时候来观察一下,这样选完之后选出来的数有差是十六的吗?没有。在这个前提下如果再多选一个数,无论剩下的是哪一个,随便再选一个就一定会有一个数和它差是。

所以最后选的数的个数就应该是前面是两个五,就应该是十个,加上下面是四个四就是十六。这时候是能取到的最多的,差不是六,接下来额外再取一个,这时候就一定会有两个数的差是十六,一个是二十七。

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所以在解决这种构造数字问题的时候基本思路就是先列表,列表列的是什么?把所有满足条件的列出来。接下来列完之后不是要看所有满足条件的有多少个,是从反面思考看不满足条件的,要差是十六就偏偏让你差五十六,把所有最倒霉的、最不利的相反的情况全把它列出来,接下来最后再取一个,就一定能达到要求。

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