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嗨，你好。我是奇文，在大宗商品和贸易圈从业20年，现任职于一家为大宗商品企业提供咨询和IT服务的公司^_^，让我们一起聊聊大宗商品行业那些事儿。

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近年来，VaR值风险指标日益受到中国大宗商品企业重视，越来越多的企业对标嘉能可、托克等一流企业，将VaR值作为主要指标，用于资产分配，绩效评估，风险预测等日常管理。

在历史法、参数法和蒙特卡洛模拟法等主要的VaR值计算方式下，历史法模拟法由于其直观易懂，计算方便的特点，得到了广泛应用。但是历史模拟法也存在较多的局限性，比如在多品类资产运算时候，不易拟合；对期权衍生品进行风险计算的时候，缺乏历史数据；对大数据量运算时候，计算量极大等。

现翻译《VaR Approximation Methods》（历史模拟方法计算VaR的近似方法），以飨读者。该文提出了一种近似方法，能够显著解决以上存在的不足。感谢刘鲁军博士提供原文。

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历史模拟方法计算VaR的近似方法

我们对使用历史模拟方法计算风险价值的全面重估方法的各种近似值进行了研究，揭示了可以显著减少处理资源的替代方案，但以可接受的准确性为代价。

1.执行摘要

世界各地的银行和其他金融机构使用各种方法来量化其投资组合中的风险。监管机构要求根据历史数据计算的风险值（VaR）用于某些报告和资本分配目的。目前，这种简单的风险度量，即历史VaR或HsVaR，是由一些公司使用计算密集的完全重估方法计算的。

本白皮书对HsVaR计算的替代方法进行了评估，这些方法可以显著减少处理工作量，尽管代价是降低准确性。将delta, delta-gamma, and delta-gamma-theta近似方法的VaR值和相应的计算次数与完全重估方法的计算次数进行对比，以评估准确性损失和减少处理的好处之间的权衡。

2.评估风险评估

风险价值，或众所周知的VaR，已经成为衡量金融市场风险的一种流行方法。在其最一般的形式中，VaR衡量在给定的置信水平下，资产或投资组合在特定时期内价值的最大潜在损失。从­统计学的角度来看，VaR衡量­特定时期回报分布的特定分位数（置信水平）。在所有可用于计算投资组合VaR的方法中——参数、历史模拟和蒙特卡洛模拟——历史模拟方法（HsVaR）本身并不假设任何回报分布，而是直接使用实际的过去数据来生成可能的未来情景并确定所需的分位数。

3.问题陈述

目前，一些金融机构使用完全重估法来计算HsVaR。虽然它无疑是最简单的方法，没有任何隐含或明确的分布假设，但使用它的一个主要限制是，需要对所考虑时期的每个数据点对整个投资组合进行估值。例如，如果99%（一天）的HsVaR是基于过去500天的风险因素市场数据计算的，那么HsVaR计算涉及整个投资组合的全面重估，500次。因此，该方法需要大量的计算工作，并对现有的计算引擎和其他风险管理系统施加了沉重的负担。

当前的问题是 探索计算HsVaR的各种近似方法，这些方法可以显著减少计算（估值）的次数，但产生的输出足够接近于完全重估HsVaR。

4.路径和方法

考虑一个假设的样本投资组合，并确定决定投资组合组成部分价值的各种潜在风险因素，收集与这些因素有关的历史数据。然后计算投资组合组成部分的当前价格和对潜在风险因素的敏感性。HsVaR采用如下详述的各种方法进行计算；将结果制成表格，以记录从近似方法计算的VaR值相对于完全重估方法的偏差。此外，对每种方法中涉及的计算数量进行了比较，以观察使用近似方法产生的效益。

在这项研究中，考虑了一个由指数ETF（SPDR标准普尔500 ETF——一种线性工具）、指数看涨期权（标准普尔500指数于2012年6月16日到期——一种短期非线性工具）和国债（2019年11月15日到期——长期非线性工具）各一个多头头寸组成的投资组合。目标是计算结算日期（即­计算日期）为2011年12月30日的99%（一天）的HsVaR；所使用的历史数据对应于后500天的市场数据（2010年1月8日至2011年12月30日）。

收集了与潜在风险因素相关的市场数据——ETF的标准普尔500指数和国债的看涨期权和到期收益率（YTM），并 根据过去的数据使用以下公式确定了第二天因素的499（500-1）个可能值：

X（t+1）=X（t）*X（i+1）/X（i）

其中：

• X（t+1）是第二天的计算风险系数。

• X（t）是计算当天（本例中为2011年12月30日）的风险系数值。

• X（i）和X（i+1）是连续几天（i=1至500）的风险因素值。

一旦第二天潜在风险因素的可能情景到位，就计算出当前价值的相应回报（绝对值）。然后计算出当前日期（2011年12月30日）的工具价格。

ETF的价格是通过映射过去数据的基础回报和ETF价格回报来确定的，指数看涨期权的价格是使用Black-Scholes模型计算的。债券的全价价格是用微软Excel的内置函数计算出来的。 （全价是一种债券定价报价，指债券成本中包括基于票面利率的应计利息。息票支付日之间的债券报价反映了截至报价日的应计利息。） 最后，使用以下方法计算投资组合的HsVaR。

4.1 全面重估

通过全面重估（FR）确定的HsVaR涉及对499个潜在风险因素可能值中每一个的单个工具的价格进行计算（每个工具共有500个估值­，包括当天的价格计算）。根据各个工具的价值，计算出每个场景的投资组合价值，然后确定每日回报（超过当前投资组合价值）。所需的分位数（在本例中为100%-99%=1%）是根据已排序的返回列表确定的。

4.2 德尔塔近似

德尔塔近似（DA）方法要求提前计算单个工具的一阶灵敏度（通常，期权为 德尔塔 ；债券为修改 的 持续时间）。这种方法的驱动力是这样一种哲学，即工具回报的变化可以通过将基础收益的变化乘以工具对基础的相应灵敏度来近似。这种近似值适用于线性投资工具，而对于非线性投资工具则倾向于偏离：

D （V） =增量* D （X）

其中：

• D （V）是投资工具价值的变化。

• D （X） 是基础价值的变化。

• 德尔塔是该工具相对于标的物的一阶导数。

因此，对于所计算的基础的所有499个可能回报，使用上述公式计算每个工具的相应德尔塔回报（绝对美元回报）。 根据单个工具的德尔塔收益，计算投资组合收益和VaR（要求的投资组合收益分位数）。

4.3 德尔塔伽玛近似

德尔塔-伽马近似（DGA）方法类似于德尔塔近似方法，但具有更高阶的灵敏度。由于现实生活中的投资组合由与潜在风险因素非­线性相关的工具组成，因此由于所涉及的线性假设（因为一阶导数只不过是曲线在给定点的斜率），德尔塔近似效果不佳。对此的自然补救方法是加入下一阶导数。德尔塔-伽马近似除了德尔塔外，还需要计算二阶导数­伽马，每个投资工具的回报计算如下（源自泰勒级数）：

D （V） =增量* D （X） +0.5*伽玛* D （X）2

其中：

• Gamma是投资工具相对于基础的二阶导数。

根据使用上述公式计算的回报，确定了投资组合回报，并选择了所需的分位数作为VaR。 德尔塔-伽马方法对简单的非线性工具（如没有看跌/看涨期权的债券）相当有效，因为与潜在风险因素的关系的曲率可以通过凸性度量来近似 。

4.4 Delta-Gamma Theta近似

Δ-γ-θ近似（DGTA）方法考虑了一个额外的项，该项根据投资工具值随时间的变化进行调整。投资组合或工具相对于时间的偏导数被添加到上述方程中，以确定德尔塔-伽马-θ回报，随后计算VaR：

D（V） =增量*D（X） +0.5*伽玛*D（X） 2 +Theta*D（T）

其中：

• Theta是工具相对于时间的偏导数。

• D （T） 是时间的变化（在这种情况下是一天）。 DGTA方法仍然只考虑二阶近似，但包含了回报的时间效应（在DGA方法中被忽略）。

注： 该模型可以通过添加其他敏感性来进一步加强，如vega（对波动性）和rho（对利率）。在这项研究中，为了简单易懂，我们将自己限制在theta中。

5. 假设和限制

本研究的目的是探索全面重估方法的各种近似值，而不是对其进行统计验证。因此，为了保持简洁性，所采用的方法有以下固有假设：

• 研究的重点是对整体价值进行全面重估的近似方法投资组合，因此假设各种投资组合组成部分的潜在风险因素是预先确定的，并且已经到位。因此，对选择正确因素的各种方法的研究超出了范围。
• 由于监管要求规定基于历史数据，本研究中考虑的数据点 直接取自真实的市场历史数据 ，没有任何修改­（即，所有数据点都是实际的每日市场价格，权重相等）。
• 由于目标是计算一天的VaR，因此与使用了考虑期内的营业日（即，一天意味着下一个营业日/交易日）。通过简单地 将n的平方根乘以一天的VaR，可以很容易地将由此产生的一天VaR扩展到任何“n天”周期。
• 全面重估的问题在场外交易（OTC）产品中更为普遍。 其中没有可用交易工具的市场数据。然而，在这项研究中， 选择了交易非常活跃的工具，以便可以使用一个简单的定价公式，并且重点仍然是近似方法的好处，而不是定价的复杂性。 因此，研究中的计算确实存在模型风险，这些定价函数的固有假设也适用于此。
• 根据市场计算的六个月国库券利率和隐含波动率使用Black-Scholes方法计算期权价格时，分别使用计算日的价格作为无风险利率和波动率。类似地，ETF的价格是通过匹配相应的基础指数回报率（作为ETF将产生­与标准普尔500指数相对应的回报） 。
• 该研究的结果 没有经过统计学验证 。对于现实生活中的实施，本文中使用的方法需要在与各种数据窗口相对应几组真实市场数据上运行，以进行彻底验证。
• 结果和讨论

图1和 图 2描述 了 模型的各种输入 和 输出：

注：在上面的输出表中，“%差异”值对应于通过每种近似方法计算的VaR值与完全重估方法计算的值的偏差。

如图2所示，德尔塔近似方法产生的结果接近ETF的完全重估方法（最小偏差），这是一种线性工具，而期权和债券的德尔塔-伽马-θ近似是非线性的。与DGA和DGTA方法相对应的投资组合VaR将ETF的DA回报与期权和债券的二阶回报相结合。减少系统计算应力的好处可以在图3中清楚地看到：

K=3,N=500

K——投资工具数量，N——历史数据的数据点数量

^^ 估值是指需要更高计算能力的复杂计算。 在本研究中，我们将定价工具和计算敏感性所涉及的所有计算视为估值，因为它们需要大量的处理能力和/或时间。然而­， 计算的总数甚至包括计算简单且不需要太多系统时间的直接数学计算。 因此，可以合理地假设，研究的目的是减少估价数量，而不是计算。

注：从这里可以看出， 计算能力的节省是巨大的，约为99%，在过去较长时间的数据中更为明显。 然而，值得重申的是，上述计算­能力的节省仅与估值数量有关。从计算总数的角度来看，没有太大变化，但 计算引擎的压力很大程度上来自复杂的估值，而不是简单的算术运算。

7. 数据要求

除了基本因素的市场数据和所有­工具的定价模型外，以下输入是上述近似方法的先决条件：

• ·投资组合中工具对所有潜在风险因素的敏感性（两者每个投资工具的delta和gamma，并且­对应于每个潜在的风险因素）。

注1：就债券投资组合而言，需要关键利率期限，因为修改后的期限只对应于收益率曲线的平行变化。关键利率持续时间衡量债券价格对收益率曲线上特定到期日收益率的敏感性。在我们的研究中，假设收益率曲线平行移动，因此计算仅涉及债券投资组合的修改期限。然而，为了提高结果的准确性，已经根据每个过去数据的整个零息票收益率曲线对到期收益率（YTM）值进行了建模。同样，其他­工具可能需要特定的­敏感性（如具有嵌入看跌/看涨期权的债券的期权调整期限等）

注2： 如果多元衍­生工具的价值取决于一个以上的潜在风险因素，则每个工具都需要每对潜在风险因素的“交叉gamma”。为了简单起见， 目前的研究只假设了单变量工具 （每个工具只有一个潜在的风险因素）。

• ·Theta，或所有工具的时间敏感性（以及波动性等其他敏感性、vega和利率­敏感性，rho取决于模型）。敏感性可以来源于任何可用的市场数据提供商（主要是交易所交易产品）。
• 比较账户

本研究中讨论的每一种方法都有优点和缺点。为了最大限度地发挥效益，银行和金融机构通常将这些方法结合起来­用于监管和报告目的。一些更大、更复杂的机构已经开发了用于HsVaR计算的内部专有近似方法，该方法在准确性和计算强度方面介于完全重估和上述近似（部分重估方法的变体）之间。

图5提供了一阶（delta）和二阶（delta-gamma或delta-ghamma theta）近似方法相对于全计算HsVaR的重估方法和基于网格的蒙特卡罗模拟方法（一种广泛使用的近似值完全重估蒙特卡罗模拟方法）。

*注： 基于网格的蒙特卡罗模拟方法是一种近似方法，与完全重估蒙特卡罗模拟相比，该方法计算VaR的工作量更低。该方法包括创建一个离散风险因素网格，并仅在网格点执行重估。对于不落在网格点上（但在网格点内或网格点外）的潜在风险因素的模拟值，将采用适当的插值（或外推）技术来得出估值。

9. 结论

正如我们的研究结果所表明的，近似方法为完全重估HsVaR计算提供了一个很好的替代品。节省系统处理负载的好处是显著的，但以精度为代价。尽管如此，这些方法在要求根据每日价格计算VaR的监管报告中仍有*在用潜**途，

最好的方法是在同一投资组合中结合使用上述方法，具体取决于工具的类型，以最大限度地减少处理工作量。因此， 建议通过使用适用于投资组合*特中**定工具的不同近似方法计算工具的回报来计算 投资 组合VaR。 正如前面在数据需求部分提到的，这意味着定价模型和敏感性都需要到位——这可能会被证明是一件昂贵的事情。

最后，可以如下所述计算回报情景；一美元情景的回报值已经到位，HsVaR可以在汇总后在投资组合层面进行计算。

• 对于线性工具（如股票头寸、ETF、远期、期货、上市具有充足市场流动性的证券等），应采用DA方法。

• 对于普通的衍生工具和固定收益产品（如简单债券，

股票期权、商品期权等），DGTA方法将更适合。

• 对于所有其他高度非线性、奇异的衍生工具（如具有看涨/看跌期权的债券期权、掉期期权、信用衍生品等）和高度波动性（或波动性影响不是线性的）和非流动性的工具，建议采用全面重估方法，因为近似方法产生的价值不太准确。

10. 需要全面重估的工­具的简化技术

对于建议进行全面重估的工具，可以通过使用 数据过滤和网格因子估值等技术来减少计算负担。 如下文所述，这些方法­在很大程度上简化了计算，但其准确性在很大程度上取决于为重新评估选择的数据点的数量和选择。

数据过滤技术 包括根据某些标准过滤与风险因素相关的数据点（例如，顶部的“N”点，其中基础的移动是最大或最小的，或者两者都有，取决于工具），并在这些选择的点进行重新评估。对于其他数据点，可以采用DGTA等近似方法。

另一方面 ，网格因子估值 涉及从历史风险因子数据中选择一组离散数据点，以使所选网格值跨越整个数据集并形成其合理表示。仅对这些网格值进行重新评估，并且对于不落在网格节点上的所有数据点， 采用适当的插值或­外推技术（线性、二次或更高阶）来获得该值。

注： 无论选择何种近似方法，在将相同的数据应用于实际投资组合之前，都需要在不同历史窗口的产品中验证相同的数据。此外，该模型在用于报告或资本计算目的之前需要获得监管机构的批准。

2012年5月，巴塞尔银行监管委员会（BCBS）发布了一份咨询文件，帮助投资银行从根本上审查其交易账簿。该报告提到，由于忽略尾部分布的风险值固有弱点，委员会考虑了风险值的替代风险指标（如预期缺口expected shortfall）。然而，应该注意的是，我们研究中考虑的近似方法即使对于委员会考虑的替代风险指标也是有效和有用的，因为近似方法仅作为回报估计的替代方法，不会影响风险指标等特定场景的选择。

参考文献

• BASEL II市场风险框架修订，巴塞尔银行监管委员会，2009年。http://www.bis.org/publ/bcbs158.pdf

• William Fallon，《 计算风险价值》 ，1996年。

• Linda Allen，《 理解市场、信贷和操作风险》，第3章：将风险价值付诸实践 ，2004年。

• John C.Hull，《 期权、期货和其他衍生品》 ，第20章：风险价值，2009年。

• Darrell Duffie和Jun Pan，“风险价值概述”，1997年。

• Manuel Amman和Christian Reich，“非线性金融工具的VaR——线性近似还是全蒙特卡罗？”，2001年。

• Michael S.Gibson和Matthew Pritsker，“改进基于网格的方法来估计固定收益投资组合的风险价值”，2000年。

• 巴塞尔银行监管委员会《交易账簿基本面审查》，2012年。http://www.bis.org/publ/bcbs219.pdf