本节主要来介绍下一次函数的图像和性质的综合应用，如待定系数法求函数的解析式，由图象反映函数的性质，及一次函数与一元一次方程的关系，在解决实际问题中需要注意自变量的取值范围要满足实际意义，最后来通过一次函数应用的学习来拓展知识提升能力！
一、用待定系数法确定一次函数表达式
运用待定系数法求函数表达式需要注意两点：
一是所取的点必须在函数图像上，二是必须正确代入，准确计算 。
例1、 如图所示，求直线 AB 对应的函数表达式？
解：设直线 AB 对应的函数表达式是 y=kx+b(k≠0)
当 x = 0 时，y =3，代入得 b = 3；
当 x = 2 时，y = 0，则 2k+3 =0，解得 k = -3/2，
故 y = -3/2 x +3 .
二、一次函数图像的应用
1、根据函数图像可判断函数类型，不过原点为非正比例函数的一次函数；
2、从 x 轴、y 轴的实际意义去理解函数图像上点的坐标的实际意义；
3、在利用函数模型求解实际问题时，要注意自变量的取值范围。
例题2、已知一次函数 y1，y2，y3 的图像如图所示， 它们的交点的横坐标分别为 a，b，c .
自变量 x 取不同值时对应的函数值 y 的大小比较如下：
1、 当 0<x<a 时，y1<y2<y3；
2、 当 a<x<b 时，y2<y1<y3；
3、 当 b<x<c 时，y2<y3<y1；
4、 当 x>c 时，y3<y2<y1；
5、 当x=a 时，y1=y2<y3；当 x=b 时，y1=y3>y2；当 x=c 时，y2=y3<y1。
例3、 温度的变化是人们经常谈论的话题，请根据下图回答下列问题：
1、这一天的最高温度是多少？是在 几时达到的？最低温度呢？
2、这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过多长时间？
3、在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
解答过程：
1、根据图像可以看出：
这一天的最高温度是 37 ℃，是在15 点达到的；最低温度是23 ℃，是在3 点达到的；
2、温差为37-23=14℃，经过的时间为 15-3=12 小时；
3、从3 点到15 点温度在上升，在 0 点到3 点、15 点到24 点温度在下降。
三、一次函数与一元一次方程的关系
一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图像是一条直线，与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx + b = 0 的解 。
例题4、直线 y= ax+b 过点 A（0，2）和点 B（-3，0），则方程 ax+b=0 的解是（D ）
A. x=2 B. x=0 C. x=-1 D. x=-3
解析：
方程 ax+b=0 的解，即为函数 y=ax+b 的图像与 x 轴交点的横坐标 。
因为直线 y=ax+b 过点 B（-3，0），所以方程 ax+b=0 的解是 x=-3 。
四、一次函数与实际问题（注意自变量的取值范围）
例题5、某校现有 450 本图书借给学生阅读，每人9 本，求余下 的本数 y（本）和学生人数x（人）之间的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围。
解：函数关系式为 y=450-9x，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤50 的整数。
注：在解决实际问题时，容易忽略自变量的取值必须满足实际意义，即学生人数 x 只能取非负整数，即 x 取 0，1，2，…，49，50。
例题6、已知等腰三角形的周长为 20，把底边 y 表示为腰长 x 的函数，并画出图像。
解：由题意可得 y=-2x+20（5<x<10）.
当 x=5 时，y=10，所以 A（5，10）；
当 x=10 时，y=0，所以 B（10，0）。
所以所求函数 y=-2x+20（5<x<10）的图像如图所示：
注：本题是实际问题，x 和 y 分别表示线段的长，x 表示等腰三角形的腰长，y 表示底边长，x和 y 应该满足三角形的三边关系定理，于是得 5<x<10，故函数图像应是去掉端点的一条线段，本题易出现的错误是画图时将端点包含在内，导致出错。
五、知识拓展与能力提升
1、根据图形的面积确定一次函数表达式
例题7、如图所示，过点 A（2，0）的两条直线 l1，l2 分别交 y 轴于点 B，C，其中点 B 在原点上方，点 C 在原点下方，已知 AB= √13 。
（1）求点 B 的坐标；
（2）若 △ABC 的面积为 4，求直线 l2 的表达式。
解：
（1）因为点 A（2，0），AB= √13 ，
所以点 B 的坐标为（0，3）；
（2）因为 △ABC 的面积为 4，所以 1/2× BC × AO = 4 ，
即 1/2× BC × 2 = 4 ，所以 BC = 4 。
因为 BO=3，所以 CO = 4-3 = 1，所以 C（0，-1）。
设直线 l2 的表达式为 y=kx+b，则 2k+b=0，b=-1，
解得 k = 1/2，b=-1，
所以直线 l2 的表达式为 y = 1/2 x - 1 。
2、根据函数的图像回答问题
例题8、某公司推销一种产品，设 x（件）是推销产品的数量， y（元）是推销费，下图表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图回答下列问题：
（1）求 y1与 y2 的函数表达式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付给推销员推销费的？
（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？
解：
（1）设 y1=k1x（k1≠0），y2 = k2x+b（k2≠0）.
因为函数 y1 的图像过点（30，600），
所以 600=30k1，解得 k1= 20.
所以函数 y1的表达式为y1=20x.
因为函数y2的图像过点（0，300） 和（30，600），
所以 b=300，30k2+b=600，解得k2=10.
所以函数 y2 的表达式为 y2 =10x+300 ；
（2）y1 是不推销产品没有推销费，每推销 10 件产品得推销费 200 元；
y2 是保底工资是 300元，每推销 10 件产品再给提成 100 元 ；
（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于 30 件产品，就选择 y1 的付费方案；
否则选择 y2 的付费方案。
3、一次函数的实际应用
例题9、为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过 A 港口、B 港口分别运送 100 吨和50 吨生活物资。已知该物资在甲仓库存有 80 吨，乙仓库存有 70 吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如下表：
（1）设从甲仓库运送到 A 港口的物资为 x 吨，求总费用 y （元）与 x（吨）之间的函数表达式，并写出 x 的取值范围；
（2）求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案。
解：
（1）设从甲仓库运 x 吨物资往 A 港口，则从甲仓库运往 B 港口的物资有（80-x）吨，
从乙仓库运往 A 港口的物资有（100-x）吨，
运往 B 港口的物资有 50-（80-x）=（x-30）吨 。
所以 y =14x+20（100-x）+10（80-x）+8（x-30）=-8x+2 560，
x 的取值范围为 30≤x≤80 。
（2）由（1）得，y=-8x+2 560，y 随 x 的增大而减小，
所以当 x=80 时总运费最低，
当 x=80 时，y=-8×80+2 560=1 920，
所以最低费用为1 920元。
此时方案为：把甲仓库的物资全部运往A港口，再从乙仓库往A港口运20吨物资，乙仓库余下的物资全部运往 B 港口。