加权费马点 的定义：到三角形三个顶点的加权距离之和最小的点 (也可以定义为：到不共线三点的加权距离之和最小的点)。
例如：任意一点 P 到 ΔA B C 三个顶点的加权距离之和记为 L(P) = λ A ·P A + λ B ·P B + λ C ·P C，其中 λ A , λ B , λ C ∈ R⁺ 分别为线段 P A , P B , P C 的距离权重，当 L( P ) 取得最小值时点 P 即为 ΔA B C 对于权重 λ A , λ B , λ C 的 加权费马点。
加权费马点、权重三角形
利用 对称性 可以证明：加权费马点不在三角形外部
加权费马点 P 不在直线 BC 的点 A 对侧，同理 ……
“加权费马点 P 不在直线 B C 的点 A 对侧”且“不在直线 C A 的点 B 对侧”且“不在直线 A B 的点 C 对侧”所以“加权费马点 P 不在 ΔA B C 外部”。
加权费马点 P 不在 ΔABC 外部
有了这个结论，我们接下来只需讨论三角形内部和边上的点就可以了，以下将分三种情况讨论三角形的加权费马点 (如非特殊说明，均指 ΔA B C 对于权重 λ A , λ B , λ C 的加权费马点)。
1. 若以权重为边长不能构成三角形，则加权费马点为最大权重对应的三角形顶点
不妨设 λ A 为最大权重，以权重 λ A , λ B , λ C 为边长不能构成三角形等价于 λ A ≥ λ B + λ C ，基于此不等式可证明：L(任意一点 P) ≥ L(顶点 A)，即顶点 A 为 ΔA B C 的加权费马点。
若权重 λᴀ ≥ λʙ + λᴄ，则顶点 A 为 ΔABC 的加权费马点
若以权重 λ A , λ B , λ C 为边长可以构成三角形 ΔA" B" C" (以下将与之相似的三角形统称为 权重三角形)，则加权费马点的位置又可分为两种情况：
第二、三种情况
2. ∀X ∈ {A, B, C}, ∠X + ∠X" < 180° 时 ΔA B C 的加权费马点
在此情况下，ΔA B C 对于权重 λ A , λ B , λ C 的加权费马点可由以下作图方法作出：
点 P 为 ΔABC 对于权重 λᴀ, λʙ, λᴄ 的加权费马点
分别在 ΔA B C 的三条边 B C, C A, A B 上向外作权重三角形 ΔA' B C, ΔA B' C, ΔA B C'，则直线 AA', BB', CC' 共点于加权费马点 P。
直线 AA', BB', CC' 共点于加权费马点 P
权重三角形 ΔA' B C, ΔA B' C, ΔA B C' 的外接圆 ⊙ O A , ⊙ O B , ⊙O C 也共点于加权费马点 P。
圆 ⊙Oᴀ, ⊙Oʙ, ⊙Oᴄ 共点于加权费马点 P
2.1 证明直线 AA', BB', CC' 共点
证明“直线 AA', BB', CC' 共点”等价于证明“点 A, P, A' 共线，其中点 P 为直线 BB' 和 CC' 的交点”。
首先证明三个 “四点共圆”
直线 AA', BB', CC' 共点于点 P
由上述证明还可以得到另一个结论：三角形的外展权重三角形的外接圆共点。
圆 ⊙Oᴀ, ⊙Oʙ, ⊙Oᴄ 共点于点 P
2.2 证明 λ A ·AA' = λ B ·BB' = λ C ·CC'
λᴀ·AA' = λʙ·BB' = λᴄ·CC'
2.3 证明 L(加权费马点 P) = λ X ·XX', X ∈ {A, B, C}
以下通过 相似旋转 (也可称为 旋转相似、位似旋转) 证明这个结论：
L(加权费马点 P) = λx·(XP + PP' + P'X') = λx·XX'
L(加权费马点 P) = λᴀ·AA' = λʙ·BB' = λᴄ·CC'
2.4 证明 L(任意一点 P) ≥ λ X ·XX', X ∈ {A, B, C}
通过 相似旋转 可以证明加权距离 L(任意一点 P) = λ A ·P A + λ B ·P B + λ C ·P C = λ X·(XP + PP' + P'X')，其中 X ∈ {A, B, C}，XP + PP' + P'X' 为定点 X 和 X' 之间的折线长度，再根据 两定点之间线段最短 推导出 L(任意一点 P) ≥ λ X·XX'，以下将根据点 P 的位置分别予以证明。
2.4.1 证明 L(ΔA B C 内任意一点 P) ≥ λ X ·XX', X ∈ {A, B, C}
L(ΔABC 内任意一点 P) = λx·(XP + PP' + P'X') ≥ λx·XX'
以下三个证明 (1、2、3) 完全等价，可任选其一：
(1) 点 P 为 ΔA B C 内任意一点时，以点 C 为旋转中心相似旋转 ΔC P B 至 ΔC P' A'，旋转角 = ∠C"，相似比 = λ B /λ A ，证明 L(P) ≥ λ A ·AA'
L(ΔABC 内任意一点 P) ≥ λᴀ·AA'
(2) 点 P 为 ΔA B C 内任意一点时，以点 A 为旋转中心相似旋转 ΔA P C 至 ΔA P' B'，旋转角 = ∠A"，相似比 = λ C /λ B ，证明 L(P) ≥ λ B ·BB'
L(ΔABC 内任意一点 P) ≥ λʙ·BB'
(3) 点 P 为 ΔA B C 内任意一点时，以点 B 为旋转中心相似旋转 ΔB P A 至 ΔB P' C'，旋转角 = ∠B"，相似比 = λ A /λ C ，证明 L(P) ≥ λ C ·CC'
L(ΔABC 内任意一点 P) ≥ λᴄ·CC'
2.4.2 证明 L(ΔA B C 边上任意一点 P) > λ X ·XX', X ∈ {A, B, C}
L(ΔABC 边上任意一点 P) = λx·(XP + PP' + P'X') > λx·XX'
以下三个证明 (4、5、6) 完全等价，可任选其一：
(4) 点 P 为 B C 边上任意一点时，证明 L(P) > λ A ·AA'
L(BC 边上任意一点 P) > λᴀ·AA'
(5) 点 P 为 C A 边上任意一点时，证明 L(P) > λ B ·BB'
L(CA 边上任意一点 P) > λʙ·BB'
(6) 点 P 为 A B 边上任意一点时，证明 L(P) > λ C ·CC'
L(AB 边上任意一点 P) > λᴄ·CC'
综合上述证明可知：∀X ∈ {A, B, C}, ∠X + ∠X" < 180° 时 L(任意一点 P) ≥ λ X·XX' = L(加权费马点 F)，点 X, P, P', X' 共线时不等式取等号，此时点 P 与加权费马点 F 重合。
点 X, P, X' 共线时，点 P 在直线 XX' 上
点 X, P, X' 三点共线
点 P, P', X' 共线时，点 P 在圆 ⊙OX 上 (顶点 X 对边的外展权重三角形的外接圆)
点 P, P', X' 三点共线
因为点 X, P, P', X' 共线等价于点 P 在直线 XX' 和圆 ⊙OX 上，所以直线 XX' 和圆 ⊙OX 这六个图形中任意两个在 ΔA B C 内部的交点 P 即为 ΔA B C 对于权重 λ A , λ B , λ C 的加权费马点。
三角形内的加权费马点的几种作图方法
2.5 三角形内的加权费马点对三边的张角与权重的关系
ΔA B C 内的加权费马点 P 对 B C, C A, A B 三边的张角分别记为：α, β, γ，则 ∠α + ∠A" = 180°, ∠β + ∠B" = 180°, ∠γ + ∠C" = 180°，条件 ∀X ∈ {A, B, C}, ∠X + ∠X" < 180° 等价于 ∠α > ∠A 且 ∠β > ∠B 且 ∠γ > ∠C。
三角形内的加权费马点对三边的张角与权重的关系
若给定一组权重 λ A , λ B , λ C 可以构成权重三角形，则张角 α, β, γ 是唯一确定的，如果 ΔA B C 内部的点 P 对三边的张角满足：∠B P C = α, ∠C P A = β, ∠A P B = γ，则点 P 即为 ΔA B C 对于权重 λ A , λ B , λ C 的加权费马点。
张角 α, β, γ 不变，加权费马点的位置不变
因为 ΔA B C 内任意一点 P 都对应唯一一组张角 ∠B P C, ∠C P A, ∠A P B ∈ (0°, 180°), ∠B P C + ∠C P A + ∠A P B = 360°，所以必有唯一一组归一化权重 λ A , λ B , λ C ∈ R⁺, λ A + λ B + λ C = 1 使点 P 成为 ΔA B C 对于权重 λ A , λ B , λ C 的加权费马点。
点 P 为 ΔABC 对于权重 λᴀ, λʙ, λᴄ 的加权费马点
权重 λᴀ, λʙ, λᴄ ∈ R⁺, λᴀ + λʙ + λᴄ = 1
3. ∃X ∈ {A, B, C}, ∠X + ∠X" ≥ 180° 时 ΔA B C 的加权费马点
为了论述方便，不妨设：∠A + ∠A" ≥ 180°。
3.1 证明 ∠A + ∠A" = 180° 时 ΔA B C 的加权费马点为顶点 A
三角形 ΔA 1 B C 中 ∠A 1 + ∠A" = 180°，构造三角形 ΔA 2 B C 使 ∠A 2 + ∠A" < 180°，把条件转换为第二种情况，再根据 2.5 的结论予以证明。
点 A₁ 为 ΔA₂BC 对于权重 λᴀ, λʙ, λᴄ 的加权费马点
点 A₁ 为 ΔA₁BC 对于权重 λᴀ, λʙ, λᴄ 的加权费马点
3.2 证明 ∠A + ∠A" > 180° 时 ΔA B C 的加权费马点为顶点 A
方法一 构造新的权重三角形 ΔA" B" C"，通过减小 ∠A" 把条件 ∠A + ∠A" > 180° 转换为 ∠A + ∠A" = 180°，再根据 3.1 的结论予以证明。
∠A 不变，减小 ∠A" 使 ∠A + ∠A" = 180°
权重三角形 ΔA" B" C" 中，权重 λ B , λ C 不变，权重 λ A 随 ∠A" 减小而减小。
权重 λʙ, λᴄ 不变，权重 λᴀ 随 ∠A" 减小而减小
以下两个证明 (7、8) 完全等价，可任选其一：
(7) 权重三角形 ΔA 1 B 1 C 1 中 ∠A + ∠A 1 > 180°，构造权重三角形 ΔA 2 B 2 C 2 使 ∠A + ∠A 2 = 180° (权重 λ B , λ C 不变，权重 λ A = λ 1 → λ 2 ，∠A" = ∠A 1 → ∠A 2 )。
顶点 A 为 ΔABC 对于权重 λ₁,₂, λʙ, λc 的加权费马点
(8) 权重三角形 ΔA 1 B C 中 ∠A + ∠A 1 > 180°，构造权重三角形 ΔA 2 B C 使 ∠ A + ∠A 2 = 180° (权重 λ B , λ C 不变，权重 λ A = λ 1 → λ 2 ，∠A" = ∠A 1 → ∠A 2 )。
顶点 A 为 ΔABC 对于权重 λ₁,₂, λʙ, λc 的加权费马点
方法二 分两种情况 (9、10) 证明：
(9) 点 P 为 ΔA B C 内任意一点时，以点 A 为旋转中心相似旋转 ΔA P B 至 ΔA P' C'，旋转角 = 180° - ∠B A C ≤ ∠A"，相似比 = λ B /λ C ，证明 L(P) > L(A)
L(ΔABC 内任意一点 P) > L(A)
点 P 为 B C 边 (除点 B) 或 C A 边 (除点 A) 上任意一点时，证明方法同上。
(10) 点 P 为 A B 边上任意一点时，证明 L(P) ≥ L(A)
L(AB 边上任意一点 P) ≥ L(A)
综合上述证明可知：∃X ∈ {A, B, C}, ∠X + ∠X" ≥ 180° 时 L(任意一点 P) ≥ L(顶点 X)，即顶点 X 为 Δ A B C 对于权重 λ A , λ B , λ C 的加权费马点。
至此，利用 相似旋转 解三角形加权费马点的几何方法已分享给大家。数学物理是一家，下面再介绍一下加权费马点的物理解法。
加权费马点的物理解法
在光滑的亚克力板上画出 Δ A B C，在每个顶点的位置钻一个光滑的小孔，将三条细绳分别穿过这三个小孔，三条细绳的上端系在一起 (绳结稍大于小孔，其位置记为 P)，另一端分别固定质量为 m A , m B , m C 的小球，此时绳结到小球的绳长 + 小球半径分别记为 L A , L B , L C 。
绳结受力平衡于 ΔABC 对权重 mᴀ, mʙ, mᴄ 的加权费马点 P
不计绳重和摩擦力，以亚克力板所在水平面为零重力势能面，三个小球的总重力势能 EP = (L(P) - m A ·L A - m B ·L B - m C ·L C )·g，其中 L(P) = m A ·P A + m B ·P B + m C ·P C 为绳结所在点 P 到 ΔA B C 三个顶点的加权距离之和 (以质量 m A , m B , m C 为权重)。
因为绳结受力平衡时三个小球的总重力势能 EP 最小，且 m A ·L A , m B ·L B , m C ·L C 为定值，所以此时加权距离之和 L(P) 也最小，即绳结受力平衡于 ΔA B C 对权重 m A , m B , m C 的加权费马点 P。
假设 m A 为最大质量，绳结的平衡位置 P 分 (Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ) 三种情况：
Ⅰ 若 m A ≥ m B + m C ，则 | F A | ≥ | F B | + | F C |，绳结最终卡在孔 A 处。
若 m A < m B + m C ，则以质量 m A , m B , m C 的大小为边长可以构成权重三角形 ΔA" B" C"，此时绳结的平衡位置 P 分 (Ⅱ、Ⅲ) 两种情况：
Ⅱ 若 ∀X ∈ {A, B, C}, ∠X + ∠X" < 180° (即 α > ∠A 且 β > ∠B 且 γ > ∠C)，则 | F A + F B + F C | = 0，绳结受力平衡于 ΔA B C 内部，由 F A , F B , F C 构成的矢量三角形相似于权重三角形 ΔA" B" C"。
由 Fᴀ, Fʙ, Fᴄ 构成的矢量三角形相似于权重三角形 ΔA"B"C"
Ⅲ 若 ∃X ∈ {A, B, C}, ∠X + ∠X" ≥ 180°，不妨设 ∠A + ∠A" ≥ 180° (即 α ≤ ∠A)，则 | F A | ≥ | F B + F C | (α = ∠A 时不等式取等号)，绳结最终卡在孔 A 处。
α ≤ ∠A ≤ ∠BPC，|Fᴀ| ≥ |Fʙ + Fᴄ|
几何解法与物理解法的结论是完全相同的，但相比之下物理解法更为简明易懂，所以借用光学或力学解决一些几何极值问题不失为一种好方法。读者朋友们，我们周边还有哪些事物与加权费马点相关呢？赶紧留言讨论吧，最后谢谢大家的阅读和支持 [送心]