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试题仅供参考
## 选择题（每小题5分，共计60分）
1. 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin(x+\frac{\pi}{6})$，则 $f(x)$ 的最小正周期为（ ）
A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $\frac{\pi}{2}$ D. $\frac{\pi}{3}$
2. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x-2}$，则 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 的对称图形为（ ）
A. 直线 $x=3$ B. 直线 $y=1$ C. 直线 $y=3$ D. 直线 $y=-1$
3. 若 $\sin\alpha=-\frac{1}{2}$，则 $\cos2\alpha=$（ ）
A. $-\frac{1}{4}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
4. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}$，则 $f(x)$ 的单调递减区间为（ ）
A. $(-\infty,0)$ B. $(0,+\infty)$ C. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ D. $\varnothing$
5. 若 $\log_{a}b=2$，$\log_{a}(b+c)=3$，则 $c=$（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 $f(x)=(x-1)^2+2$，则 $f(x)$ 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 若 $\tan A=-\frac{1}{2}$，则 $\sin(A+\frac{\pi}{4})=$（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{8}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C. $\frac{3\sqrt{2}}{8}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
8. 已知函数 $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(ax-1)$，若 $a>0$，则函数 $y=f(x)$ 的定义域为（ ）
A. $(0,+\infty)$ B. $(1,+\infty)$ C. $(0,1)\cup(1,+\infty)$ D. $(0,+\infty)-\{1\}$
9. 若 $A=\begin{bmatrix}1&-1\\2&3\\\end{bmatrix}$，则 $(A+3I)^{-1}=$（ ）
A. $\begin{bmatrix}\frac{1}{6}&\frac{-1}{6}\\\frac{-2}{15}&\frac{4}{15}\\\end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix}\frac{1}{6}&\frac{-1}{15}\\\frac{-2}{15}&\frac{1}{15}\\\end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix}\frac{-1}{6}&\frac{-1}{15}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\\\end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix}\frac{-1}{6}&\frac{-1}{6}\\\frac{2}{15}&\frac{4}{15}\\\end{bmatrix}$
10. 已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 在区间 $[-1,1]$ 内有两个极值点，且 $f(-1)=f(0)=f(1)=0$，则 $f(\frac{1}{2})=$（ ）
A. $-\frac{7}{16}$ B. $-\frac{5}{16}$ C. $\frac{5}{16}$ D. $\frac{7}{16}$
11. 若复数 $z$ 满足条件 $|z-2-3i|=|z+4-5i|$，则 $z$ 必定在复平面上的（ ）
A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 点 $(-1,-1)$ 处的圆上 D. 点 $(3,5)$ 处的圆上
12. 若集合 $A=\{(x,y)|x^2+y^2<4\}$，$B=\{(x,y)|y>x-2\}$，则集合 $A\cap B=$（ ）
A. $\{(x,y)|x^2+y^2<4,y>x-2\}$
B. $\{(x,y)|x^2+y^2<4,y>x-2,y<0\}$
C. $\{(x,y)|x^2+y^2<4,x<y+2,x>0\}$
D. $\{(x,y)|x^2+y^2<4,x>y+2,x<0\}$
### 填空题（每小题5分，共计20分）
13. 已知函数 $f(x)=e^{kx}(k>0)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则当 $x=0$ 时，$f(x)$ 的导数为 \_\_\_\_\_\_。
14. 设数列 $\{a_n\}$ 满足条件 $a_1=3,a_{n+1}=a_n-2(n-1)(n-2)(n-3)$，则数列前三项的和为 \_\_\_\_\_\_。
15. 已知等差数列前 $n$ 项和为 $S_n$，通项公式为 $a_n=3n+4$，则 $S_{10}=$ \_\_\_\_\_\_。
16. 设函数 $f(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x$，则 $f(\frac{\pi}{6})=$ \_\_\_\_\_\_。
### 解答题（每小题12分，共计60分）
17. 已知等差数列前四项之和为10，后四项之和为70，求该等差数列的公差和首项。
18. 已知函数 $y=f(x)$ 满足条件：对于任意实数 $x_1,x_2$ 都有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，且存在常数 $k>0$，使得对于任意实数 $x$ 都有 $f(x+k)=f(x)+k$。求证：函数 $y=f(x)$ 是以$k$ 为周期的周期函数。
19. 已知函数$f(x)=\begin{cases}\ln x&x>0\\ax+b&x\leqslant0\\\end{cases}$ 满足条件：在点 $(e,e)$ 处可导。求常数$a,b$ 的值。
20. 已知集合$A=\{(x,y)|x^2+y^2<4,x+y>0,x>0,y>0\}$，求集合$A$ 的面积。
### 补充题（10分）
21. 已知等差数列$\{a_n\},\{b_n\}$ 满足条件：$\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$。证明：$\lim_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}$.
22，已知函数 $f(x)=\frac{1}{x-2}+k$，其中 $k$ 为常数。
(1) 若 $f(0)=0$，求 $k$ 的值；
(2) 若 $f(a)=f(b)$，其中 $a<b$，求 $\frac{1}{a-2}$ 与 $\frac{1}{b-2}$ 的值之差。,
选择题的答案： 1. B 2. D 3. C 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. B 10. B 11. C 12. A
